По правилу сложения матриц
,
аксиома 4 имеет место.
Итак, аксиомы 1 - 4 справедливы. Аналогично проверяется выполнение аксиом 5 - 8. Таким образом, совокупность всех квадратных матриц 2-го порядка - линейное пространство.
Следует отметить, что, вводя линейное пространство, мы отвлекаемся не только от конкретной природы изучаемых объектов, но и от конкретных правил образования суммы векторов и произведения на число, - важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли аксиомам, сформулированным в определении линейного пространства.
Укажем некоторые следствия из аксиом.
Единственность нулевого элемента.
Действительно, допустим, и - нулевые элементы, следовательно, .
Имеем (так как - нулевой), но (так как - нулевой), следовательно, .
2. Единственность противоположного элемента.
Пусть и , - противоположные элементы для , т.е. , .
Рассмотрим вектор . Имеем
.
С другой стороны,
.
Теперь всюду далее противоположный элемент для будем обозначать .
3. Существование и единственность разности.
Дадим определение разности. Для любых двух векторов и назовем разностью и такой вектор , что . Обозначим .
Положим .
Имеем
.
Следовательно, вектор удовлетворяет определению разности.
Покажем, что он единственный вектор, удовлетворяющий этому определению.
Пусть .
К обеим частям последнего равенства прибавим вектор :
-
таким образом, вектор - единственный.
Для любого вещественного числа .
5. Для любого вектора .
6. Если , то либо , либо .
Для любого вещественного числа и любого справедливы соотношения:
7. ;
8. .
Следствия 4 - 8 докажите самостоятельно.
10.2. Базис линейного пространства
Определение 2. Пусть - линейное пространство. Вектор называется линейной комбинацией векторов , если найдутся такие числа , что
.
Определение 3. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно зависимой, если найдутся такие числа , не все равные нулю одновременно, что выполняется равенство
.
Определение линейно зависимой системы векторов можно дать в следующей эквивалентной форме, иногда более удобной.
Определение 3'. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно зависимой, если один из векторов является линейной комбинацией остальных.
Определение 4. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно независимой, если из равенства
следует, что .
Пример 3. Пусть - линейное пространство всех матриц порядка . Доказать, что векторы
и
линейно независимы.
Решение. Рассмотрим линейную комбинацию :
. (10.1)
Привлекая правила умножения матриц на число и сложения матриц, получим
. (10.2)
Равенства (10.1) и (10.2) дают
откуда , следовательно, и линейно независимы.
Справедливы следующие два утверждения, доказательство которых приведено в лекции 1.
Теорема 1. Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
Теорема 2. Всякая система векторов , содержащая линейно зависимую подсистему векторов, , линейно зависима.
Определение 5. Система векторов линейного пространства называется базисом в , если:
1) линейно независима;
2) (вещественные числа):
. (10.3)
Правая часть равенства (10.3) называется разложением вектора по базису , а числа - координатами вектора в базисе .
Приведем примеры базисов в конкретных линейных пространствах.
Пример 4. - линейное пространство всех геометрических векторов, базисом являются любые три некомпланарных вектора.
Пример 5. - линейное пространство всех многочленов степени . Показать, что базисом является система векторов .
Решение. Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулевому вектору:
,
или
.
Имеет место основная теорема алгебры: всякий многочлен степени с действительными коэффициентами имеет ровно корней, при этом каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Это утверждение означает, что равенство возможно не более, чем в точках, т.е. не может выполняться тождественно (как равенство между векторами в ).
Следовательно, допущение, что линейная комбинация векторов с коэффициентами равна нулевому вектору , влечет , а это означает, что линейно независимы.
Пусть - произвольный многочлен степени . В последней записи представлен в виде линейной комбинации векторов , что вместе с линейной независимостью этих векторов доказывает, что система - базис в пространстве многочленов степени (в соответствии с определением 5).
Пример 6. - линейное пространство всех квадратных матриц порядка 2. Показать, что базисом является система
, , , .
Решение. Убедимся в том, что система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее :
,
или
,
откуда
.
Последнее равенство дает , следовательно, система векторов линейно независима.
Пусть - произвольный вектор из .
Привлекая определения сложения матриц и умножения матрицы на число, получим
,
т.е. любой вектор из можно представить в виде линейной комбинации . В соответствии с определением 5 это вместе с доказанной выше линейной независимостью означает, что - базис.
Упражнение. Доказать, что в линейном пространстве система векторов , , …, является базисом.
Теорема 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , . Координаты относительно базиса определены однозначно.
Доказательство. Пусть , и .
Имеем
.
С другой стороны,
.
Откуда в силу линейной независимости векторов следует , т.е. .
Допустив, что вектор имеет два разложения по базису , мы получили, что эти разложения совпадают, это и означает, что координаты вектора относительно базиса определены однозначно.
Теорема доказана.
Замечание. Доказательство Теоремы 3 почти дословно повторяет доказательство аналогичного утверждения для геометрических векторов (Теорема 6 в лекции 1). Как и при доказательстве Теорем 1 и 2 , не используется геометрическая природа векторов, а лишь понятия линейной зависимости и линейной независимости. Приведенную ниже Теорему 4 предлагаем доказать самостоятельно (см. Теорему 7 в Лекции 1).
Теорема 4. Пусть - линейное пространство, - базис в . При сложении любых двух векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.
Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - базис в . Всякая система векторов при линейно зависима.
Доказательство. Достаточно доказать утверждение для (если , сошлемся на теорему 2).
Пусть - произвольная система векторов в .
Случай 1. Среди есть , следовательно, система линейно зависима.
Случай 2. .
Так как система - базис, существуют такие , что
,
, (10.4)
……………………………………
.
Среди чисел есть отличные от нуля (иначе ). Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что (в противном случае можно перенумеровать базисные векторы), следовательно,
. (10.5)
Подставив (10.5) во все равенства (10.4), начиная со второго, получим
,
…………………………………… (10.6)
.
Векторы линейно выражаются через .
Если в первом равенстве в системе (10.6) , то , и система векторов линейно зависима. Тогда, согласно теореме 2, система векторов также линейно зависима.
Если же среди есть отличные от нуля, то, не ограничивая общности рассуждений, считаем, что .
Из первого равенства в (10.6) имеем
. (10.7)
Подставим (10.7) во все равенства (10.6), начиная со второго, получим выражения через .
Процедуру повторим раза и придем к равенству
.
Один из векторов системы оказался линейной комбинацией остальных, следовательно, линейно зависимы.
Теорема доказана.
Следствие. Все базисы линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов.
Действительно, пусть (I) и (II) - два базиса в .
Допустим, . Так как система (I) - базис, то в силу теоремы 5 это означает, что система (II) линейно зависима. Это противоречит тому, что (II) - базис. Отсюда .
Допустим теперь, что . Так как система (II) - базис, то в силу теоремы 5 это означает, что система (I) линейно зависима. Это противоречит тому, что (I) - базис. Следовательно, .
Вместе эти два заключения дают .
Определение 6. Число векторов в любом базисе линейного пространства называется размерностью линейного пространства.
Для размерности линейного пространства принято обозначение .
В рассмотренных примерах:
если - линейное пространство всех геометрических векторов пространства, ;
если - линейное пространство всех многочленов степени , ;
если - линейное пространство всех квадратных матриц порядка 2, .
Лекция 11
Связь между базисами линейного пространства.
Линейные подпространства
Матрица перехода от базиса к базису. Связь координат одного и того же вектора в двух базисах. Линейные подпространства. Примеры |
11.1. Связь между базисами линейного пространства
Пусть - линейное пространство, (I) и (II) - два базиса в .
Так как (I) - базис, любой вектор из , в частности любой вектор системы (II), можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (I), т.е. найдутся такие числа , что
………………………………. (11.1)
Определение 1. Матрица называется матрицей перехода от базиса (I) к базису (II).
Замечание 1. Столбцы матрицы перехода , являются координатами в разложении векторов по базису (I).
Справедливость этого замечания непосредственно следует из равенств (11.1).
Замечание 2. Матрица перехода от базиса к базису является невырожденной матрицей.
Доказательство этого факта опустим.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть - линейное пространство, (I) и (II) - два базиса в , - матрица перехода от (I) к (II), , и , тогда
. (11.2)
Доказательство. Подставим в разложение по базису (II) выражения из (11.1), получим
.
Последнюю сумму запишем развернуто:
.
По условию , используя теорему о единственности разложения вектора по базису (теорема 3 в лекции 10), получим
,
,
……………………………………
,
что в матричном виде выглядит как равенство
.
Отсюда следует
.
Теорема доказана.
Пример 1. - линейное пространство всех геометрических векторов плоскости, (I) - произвольный декартов базис, (II) - декартов базис, полученный поворотом векторов и на угол против хода часовой стрелки. Найти матрицу перехода от (I) к (II) и связь координат одного и того же вектора в (I) и (II).
Имеем , (рис. 11.1). Тогда
.
- матрица перехода от (I) к (II).
Найдем .
и
.
Формула (11.2) в этом случае имеет вид
,
где - координаты произвольного вектора в базисе (I), а – координаты этого же вектора в базисе (II).
(Сравните с формулами (5.24) в Лекции 5).
Пример 2. - произвольное линейное пространство, . Векторы , и заданы своими координатами в некотором базисе . Доказать, что система - базис в , и найти координаты вектора в базисе .
Сначала докажем, что система - базис. Рассмотрим линейную комбинацию векторов и , равную нулевому вектору :
.
Покоординатно последнее равенство запишется в виде системы двух уравнений:
(11.3)
Определитель системы (11.3) , следовательно, система (11.3) имеет единственное решение .
Итак, допустив, что линейная комбинация векторов и равна , мы с необходимостью получили, что коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Это означает, что система векторов линейно независима, а так как , векторы являются базисом в . Обозначим этот базис (II).
Найдем матрицу перехода от (I) к (II).
В силу определения 1 (координаты векторов и в (I) располагаем по столбцам).
Обозначим через координаты вектора в (II).
Воспользуемся теоремой 1. Найдем . Имеем
,
и по формуле (11.2) получим
.
Итак, .
11.2. Линейные подпространства
Определение 2. Пусть - линейное пространство. Непустое подмножество линейного пространства ( ) называется линейным подпространством в , если выполняются два условия:
1) ;
2) при любом вещественном числе .
Пример 3. Пусть - линейное пространство всех арифметических -мерных векторов ; - совокупность всех векторов, у которых первая и последняя компоненты равны нулю, т.е. векторов вида . - подпространство в .
Действительно, пусть и , следовательно, по определению и . По правилу сложения векторов в и, таким образом, сумма любых двух векторов из принадлежит .
Пусть и - произвольное вещественное число. Но (так как ), следовательно, по правилу умножения вектора на число в и вместе с любым вектором произведение его на тоже принадлежит . В соответствии с определением 2 это означает, что - линейное подпространство в .
Замечание. Если - линейное подпространство в , то само является линейным пространством относительно введенных в операций сложения и умножения на число.
Действительно, требования 1) и 2) в определении 2 означают, что в определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Аксиомы 1 и 2 выполняются в , так как они имеют место в . Убедимся в справедливости аксиомы 3.
Пусть , , следовательно, согласно условию 2) , но по следствию 5 из аксиом в , таким образом, и в справедлива аксиома 3.
Пусть , . Следовательно, согласно условию 2) , но по следствию 8 из аксиом в , таким образом, и в справедлива аксиома 4.
Аналогично проверяется справедливость аксиом 5 - 8, следовательно, - линейное пространство.
Пусть - произвольное линейное пространство, - некоторая система векторов в . Рассмотрим совокупность всех векторов вида , где принимают всевозможные вещественные значения. Обозначим множество этих векторов . называется линейной оболочкой векторов . является подпространством в .
Действительно, (так как, например, сами векторы , , принадлежат ).
Пусть , , следовательно, по определению такие, что , .
Имеем и .
Пусть , - произвольное вещественное число.
Имеем
и .
Таким образом, выполняются условия 1) и 2) определения 2 и является линейным подпространством в .
Говорят, что порождено системой векторов или "натянуто" на систему .
Заметим, что само линейное пространство может рассматриваться как линейная оболочка любого своего базиса.
Пример 4. Найти размерность и базис линейной оболочки векторов , , .
Найдем ранг матрицы, строками которой являются данные векторы , , :
~ ~ .
Минор второго порядка , следовательно, первые две строки матрицы линейно независимы. Значит, векторы и составляют линейно независимую систему векторов в , а следовательно, и в линейной оболочке , и вектор через них линейно выражается. Тогда любой вектор тоже линейно выражается через и . Векторы и являются базисом в , .
Упражнение. - линейное пространство арифметических векторов . Найти размерность и все базисы линейной оболочки векторов , , , .
Лекция 12
Линейные операторы
Линейный оператор - определение и примеры. Матрица линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы. Линейные операторы с простым спектром |
12.1. Понятие линейного оператора
Определение 1. Пусть - линейное пространство и каждому вектору , принадлежащему , поставлен в соответствие вектор , . Соответствие называется оператором, определенным в линейном пространстве .
Принята также запись: . Вектор называется прообразом, а - образом при отображении оператором .
Определение 2. Оператор , определенный в линейном пространстве , называется линейным, если:
1) ;
2) - вещественного числа .
П ример 1. - линейное пространство всех геометрических векторов плоскости, - зеркальное отражение относительно оси (рис. 12.1). - линейный оператор.
Убедимся, что выполняется требование 2) в определении 2.
Пусть - произвольное вещественное число, по определению умножения на для геометрического вектора вектор имеет то же направление, что и , если , и противоположное, если , и .
Рис. 12.2 соответствует случаю , ( рассматривается аналогично).
П усть , , - зеркальное отражение вектора относительно оси , - зеркальное отражение вектора . Тогда ~ и, значит, . Но , поэтому . Кроме того, направление вектора совпадает с направлением вектора , следовательно, . Таким образом, имеем
.
Так же, исходя из геометрических соображений, можно доказать, что , следовательно, оператор зеркального отражения относительно оси является линейным оператором.
Определение 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , - линейный оператор в . Матрицей линейного оператора в базисе называется матрица , , такая, что
,
,
…………………………………….. (12.1)
.
Замечание 1. Столбцы матрицы являются координатами в разложении векторов по базису .
П ример 2. Найти матрицу линейного оператора зеркального отражения относительно оси в базисе .
По определению оператора (рис. 12.3).
Используя разложение векторов и по базису , находим: , . Полученные строки координат располагаем по столбцам:
.
Упражнение. - линейное пространство всех геометрических векторов, - декартов базис, - декартова система координат, - оператор проектирования на ось . Доказать, что - линейный оператор, и найти его матрицу в базисе .
Замечание 2. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в , (I) - базис в . Матрица оператора в базисе (I) определена однозначно.
Для того, чтобы в этом убедиться, разложим векторы по базису (I). Столбцы матрицы представляют собой координаты этих векторов, которые согласно теореме 3 лекции 10 определяются единственным образом, следовательно, матрица оператора в (I) определена однозначно.
Теорема 1. Пусть - линейное пространство, (I) - базис в , - линейный оператор в , - матрица линейного оператора в базисе (I), , , , . Тогда
.
Доказательство. Имеем
.
По условию .
Используя теорему о единственности разложения вектора по базису (теорема 3 из лекции 10), получим
. (12.2)
Заметим, что в последнем равенстве числа - элементы k-й строки матрицы .
Привлекая правило умножения матриц, равенство (12.2) запишем в виде
.
Теорема доказана.
Пример 3. Для линейного оператора зеркального отражения относительно оси найти, как преобразуются координаты произвольного вектора.
Решение. Матрица оператора была найдена в примере 2:
.
В силу теоремы 1, если - прообраз, а - образ, , то , т.е. первая координата образа остается без изменения, а вторая меняет лишь знак (рис. 12.4).
Пример 4. - линейное пространство всех многочленов степени , - линейный оператор дифференцирования. Найти его матрицу в базисе и, используя теорему 1, продифференцировать многочлен .
Решение. Находим образы векторов базиса и разлагаем полученные векторы по базису :
,
,
.
Матрица оператора в базисе имеет вид
,
а вектор . Обозначим . По теореме 1 имеем
,
или в виде разложения по базису : .
Упражнение. - линейное пространство всех геометрических векторов плоскости, - декартов базис, - декартова система координат, - оператор поворота плоскости вокруг начала координат на угол против часовой стрелки. Доказать, что - линейный оператор, найти матрицу оператора в базисе и координаты образа вектора .
12.2. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора
Определение 4. Квадратные матрицы и называются подобными, если существует невырожденная матрица , такая, что
.
Теорема 2. Пусть - линейное пространство, (I) и (II) - два базиса в , - матрица перехода от (I) к (II), - линейный оператор в , - матрица оператора в (I), - матрица оператора в (II). Тогда
.
Это утверждение примем без доказательства.
Пусть . Матрица , где - единичная матрица порядка , а - произвольное вещественное число, называется характеристической матрицей для . Она имеет вид
.
Определитель - некоторый многочлен порядка относительно .
Определение 5. Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы , а его корни - характеристическими корнями матрицы .
Теорема 3. Подобные матрицы имеют одинаковый набор характеристических корней.
Доказательство. Пусть , - невырожденная матрица. Имеем
.
Характеристические многочлены матриц В и С совпадают, следовательно, совпадают и характеристические корни.
Теорема доказана.
Следствие. Матрицы, задающие линейный оператор в различных базисах, имеют один набор характеристических корней (теорема 2 + теорема 3).
Определение 6. Характеристические корни матрицы линейного оператора (в любом базисе) называются характеристическими корнями линейного оператора.
Определение 7. Весь набор характеристических корней называется спектром оператора.
Определение 8. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в . Вектор называется собственным вектором оператора , если найдется действительное число такое, что
.
Число называется собственным значением, соответствующим данному собственному вектору .
Справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.
Теорема 4. Действительные характеристические корни линейного оператора, если они существуют, и только они, служат собственными значениями линейного оператора.
Пример 5. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора зеркального отражения относительно оси .
Решение. Матрица оператора была найдена в примере 2: .
Составим характеристическое уравнение:
,
откуда и , .
Числа , - характеристические корни линейного оператора (в соответствии с определением 6), они действительны и, согласно теореме 4, являются собственными значениями. Найдем соответствующие им собственные векторы.
По определению собственного вектора , но , следовательно, ищем векторы, удовлетворяющие уравнению , или , или
. (12.3)
При имеем . Подставим ее в (12.3):
,
что равносильно системе уравнений
(12.4)
откуда , и решением системы (12.4) являются все векторы вида
,
- произвольное вещественное число, отличное от нуля.
При получаем , подставляем в (12.3):
,
получаем систему уравнений
откуда , - произвольное вещественное число, отличное от нуля.
Г еометрически это означает, что любой ненулевой вектор, приложенный к началу координат с концом на оси , является собственным, отвечающим собственному значению (действие на него оператора сводится к умножению его на , а любой ненулевой вектор с концом на оси является собственным, отвечающим собственному значению (т.е. действие оператора на этот вектор заключается в умножении его на (рис. 12.5)).
Упражнение. - линейное пространство всех геометрических векторов, - линейный оператор проектирования на ось . Найти все его собственные числа и собственные векторы.
12.3. Приведение матрицы линейного оператора
к диагональному виду путем перехода к новому базису
Линейный оператор задается в базисе (I) диагональной матрицей тогда и только тогда, когда все векторы базиса (I) - собственные.
Действительно, пусть (I) - собственные векторы, отвечающие собственным значениям соответственно, т.е.
,
,
………………. (12.5)
.
Из равенств (12.5) следует справедливость разложений по базису (I):
,
,
…………………………………….
,
и по определению матрицы оператора (определение 3) имеем
, (12.6)
т.е. матрица оператора в (I) - диагональная (по диагонали стоят собственные значения).
Обратно. Пусть - матрица оператора в базисе (I) имеет диагональный вид (12.6), следовательно, ,…, и, таким образом, векторы - собственные с собственными значениями .
Вопрос о том, можно ли линейный оператор задать в некотором базисе диагональной матрицей, равносилен вопросу о том, существует ли для данного оператора базис, состоящий из собственных векторов.
Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в , - собственные векторы оператора , отвечающие собственным значениям . Если , то - линейно независимы.
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по числу векторов .
При имеем один вектор (по определению собственный вектор отличен от нулевого), вектор составляет линейно независимую систему.
Пусть утверждение теоремы справедливо для : всякая система собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, является линейно независимой.
Пусть имеется система собственных векторов , относящихся к различным собственным значениям ( ).
Предположим, система линейно зависима, т.е. найдутся числа , не все равные нулю, такие, что выполняется равенство
. (12.7)
Не ограничивая общности рассуждений, можем считать, что (иначе перенумеруем векторы).
Применим к обеим частям равенства (12.7) оператор :
.
Из последнего равенства получим
. (12.8)
Обе части равенства (12.7), умноженные на , вычтем почленно из обеих частей (12.8), получим
. (12.9)
Равенство (12.9) означает, что векторы линейно зависимы (их линейная комбинация с коэффициентами, не равными одновременно нулю, например, коэффициент при отличен от нуля, равна ), но это противоречит предположению индукции: векторы собственные, относящиеся к различным собственным значениям. Следовательно, - линейно независимы, и утверждение теоремы справедливо при любом . Теорема доказана.
Определение 9. Линейный оператор называется линейным оператором с простым спектром, если все его характеристические корни действительны и различны.
Теорема 6. Всякий линейный оператор с простым спектром может быть задан диагональной матрицей.
Доказательство. Пусть - линейное пространство, , - линейный оператор в , имеет простой спектр. Тогда характеристических корней . Пусть это числа , в силу теоремы 4 - собственные значения оператора .
Пусть - соответствующие этим собственным значениям собственные векторы, тогда согласно теореме 5 линейно независимы, и так как , - базис. В этом базисе, как было отмечено выше, матрица оператора имеет вид
и является диагональной матрицей.
Теорема доказана.
Пример 6. Линейный оператор задан своей матрицей в некотором базисе. Выяснить, существует ли для данного оператора базис, в котором его матрица имеет диагональный вид. В случае положительного ответа найти этот базис и соответствующую ему матрицу .
Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение:
,
,
откуда , - характеристические корни оператора . Они вещественны и различны, следовательно, согласно теореме 6 для оператора существует базис, состоящий из собственных векторов, и в этом базисе матрица оператора имеет вид
.
Находим собственные векторы.
При имеем
,
или . Все ненулевые векторы вида являются собственными с собственным значением .
При имеем
,
или . Все ненулевые векторы вида - собственные с собственным значением .
Полагаем , имеем , .
В базисе матрица оператора имеет вид .
Лекция 13
Евклидовы пространства
-
Определение евклидова пространства.
Ортогональные и ортонормированные базисы.
Процесс ортогонализации Шмидта
13.1. Понятие евклидова пространства
Определение 1. Евклидовым пространством называется n-мерное линейное пространство, в котором каждой паре векторов поставлено в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением векторов и (это число обозначим ), причем выполняются следующие аксиомы:
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Замечание. Аксиомы 2 и 3 справедливы также в форме 2’: и форме 3’: .
Пример 1. Пусть - линейное пространство геометрических векторов, скалярное произведение определено равенством
. (13.1)
Аксиомы 1 - 4 выполняются (см. алгебраические свойства скалярного произведения, доказанные в Лекции 2), следовательно, со скалярным произведением, определенным равенством (13.1), является евклидовым пространством.
Пример 2. В линейном пространстве арифметических векторов формула
, (13.2)
где , , задает скалярное произведение. Докажем это. Проверим выполнение аксиом 1 - 4. Поскольку компоненты - вещественные числа, имеем
следовательно, аксиома I выполняется.
Пусть . По определению сложения в . Имеем
,
аксиома 2 справедлива.
Пусть - произвольное вещественное число. По определению умножения вектора на число в
.
Далее имеем
,
аксиома 3 выполняется.
Проверим выполнение аксиомы 4:
Если , то среди компонент вектора найдется , , тогда и , следовательно, аксиома 4 выполняется.
Таким образом, линейное пространство арифметических векторов со скалярным произведением (13.2) является евклидовым пространством.
В любом евклидовом пространстве справедливы следствия из аксиом 1 - 4:
а) ;
б) если , , то
Доказательство следствий проведите самостоятельно.
Определение 2. Нормой вектора называется число, равное .
Обозначим норму . Норма - аналог длины вектора, определенной для геометрических векторов.
Угол между векторами и в евклидовом пространстве определяется равенством
. (13.3)
Покажем, что угол действительно можно определить равенством (13.3), т.е. покажем, что
.
Теорема 1 (неравенство Коши - Буняковского). Для любого и любого справедливо неравенство
. (13.4)
Доказательство. Пусть - произвольное вещественное число. Положим . Тогда по аксиоме 4 имеем
.
Воспользуемся аксиомами 1 - 3:
.
Так как , то дискриминант квадратного трехчлена неположителен:
.
Отсюда или , и неравенство (13.4) выполняется.
Теорема доказана.
13.2. Ортогональные и ортонормированные
базисы в
Определение 3. Пусть - евклидово пространство, , . Векторы и называются ортогональными, если
.
Определение 4. Система векторов называется ортогональной системой векторов в евклидовом пространстве , если при .
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. В евклидовом пространстве всякая система ненулевых ортогональных векторов линейно независима.
Доказательство. Пусть - произвольная ортогональная система векторов в ; .
Пусть
. (13.5)
Умножим обе части (13.5) скалярно на :
. (13.6)
Поскольку система векторов ортогональна, то верны равенства ,…, ; следствие а) из аксиом дает ; согласно аксиоме 4 . Тогда из равенства (13.6) получим .
Аналогично, скалярно умножая (13.5) последовательно на , получим , следовательно, система линейно независима.
Теорема доказана.
Опишем процесс построения ортогонального базиса в линейной оболочке любых линейно независимых векторов.
Пусть линейно независимы.
Шаг 1. Примем .
Шаг 2. Примем . Отметим, что , так как является линейной комбинацией и , причем и линейно независимы (линейная комбинация векторов и с коэффициентами, один из которых, а именно коэффициент при , заведомо отличен от нуля, не может равняться ).
Подберем так, чтобы :
и .
Шаг 3. Примем . Отметим, что , так как является линейной комбинацией , и , а эти векторы линейно независимы. Подберем и так, чтобы и .
Отсюда
, .
Шаг 4. Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов , причем , является линейной комбинацией векторов . Положим
.
Вектор , так как является линейной комбинацией линейно независимых векторов с коэффициентами, один из которых, а именно коэффициент при , заведомо отличен от нуля (поскольку не входит в ).
Коэффициенты подберем так, чтобы был ортогонален векторам :
.
Отсюда
и
, .
Продолжая процесс, построим ортогональную систему векторов , причем , , откуда в силу теоремы 2 следует, что линейно независимы. Линейная оболочка векторов является подпространством размерности ( ), а это означает, что - базис в (по построению - ортогональный).
Описанный выше процесс носит название процесса ортогонализации Шмидта.
Пример 3. - евклидово пространство геометрических векторов. Применяя процесс ортогонализации Шмидта, построить ортогональный базис в подпространстве, натянутом на векторы и .
Полагаем
, .
Подбираем :
,
о ткуда .
Итак, , и базис в линейной оболочке составляют векторы , .
Геометрический смысл процедуры иллюстрирует рис. 13.1. Подпространство , натянутое на векторы , - плоскость, проходящая через и векторы и , приведенные к точке . В этой плоскости построен базис , такой, что .
Замечание. Всякое евклидово пространство обладает ортогональными базисами.
Действительно, пусть - евклидово пространство, , - базис в . Применим к базису процесс ортогонализации Шмидта, получим некоторый ортогональный базис в .
Определение 5. Вектор называется нормированным, если .
Если , то нормированием называется переход к вектору ( является нормированным, так как и, следовательно, ).
Определение 6. Система векторов в евклидовом пространстве называется ортонормированной системой, если
Всякое евклидово пространство обладает ортонормированными базисами.
В самом деле, ранее было показано, что всякое евклидово пространство обладает ортогональными базисами. Возьмем в произвольный ортогональный базис и нормируем все его векторы, т.е. перейдем к системе векторов
. (13.7)
Система (13.7) - ортонормированный базис в .
Пример 4. - евклидово пространство геометрических векторов. Указать какой-нибудь ортонормированный базис в линейной оболочке векторов и .
В примере 3 был построен ортогональный базис , в .
Имеем
, ,
, .
Векторы - ортонормированный базис в .
Теорема 3. Пусть - евклидово пространство, (I) – базис в . Базис является ортонормированным тогда и только тогда, когда для любых векторов , , , скалярное произведение выражается равенством
.
Доказательство. Необходимость. Пусть базис (I) – ортонормированный, т.е.
Тогда .
Но во внутренней сумме всего одно слагаемое отлично от нуля при ( ). Таким образом, .
Достаточность. Пусть базис (I) таков, что , . Для векторов базиса справедливы разложения
,
.
В силу этих разложений получим , , – и базис (I) – ортонормированный.
13.3. Линейные операторы в евклидовом пространстве
Определение 7. Квадратная матрица называется ортогональной, если
.
Пример 5. В линейном пространстве всех геометрических векторов плоскости матрица линейного оператора поворота на угол против часовой стрелки имеет вид
.
Для нее , и, следовательно, - ортогональная матрица.
Отметим некоторые свойства ортогональной матрицы.
Утверждение 1. Квадратная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда ее столбцы составляют ортонормированную систему арифметических векторов.
Доказательство. Необходимость. Пусть , , ортогональна.
Имеем
, .
В соответствии с правилом умножения матриц , , где
. (13.8)
Так как ортогональна, то , и, следовательно,
(13.9)
Равенства (13.8) и (13.9) означают, что строки матрицы , рассматриваемые как арифметические n-мерные векторы, составляют ортонормированную систему, необходимость тем самым доказана.
Достаточность. Пусть строки матрицы составляют ортонормированную систему арифметических векторов. Тогда в соответствии с введенными выше обозначениями (см. (13.8))
Но это означает, что и, следовательно, (в силу единственности обратной матрицы) и ортогональна.
Утверждение 2. Матрица перехода от ортонормированного базиса евклидова пространства к любому другому его ортонормированному базису является ортогональной.
Доказательство. Пусть (I) и (II) – два ортонормированных базиса в . , , - матрица перехода от (I) к (II).
В соответствии с определением матрицы перехода от базиса к базису справедливо равенство
,
или
, . (13.10)
Так как (II) – ортонормированный базис, то
Используя (13.10), получаем
а это означает, что столбцы матрицы составляют ортонормированную систему. Привлекая утверждение I, заключаем, что - ортогональная матрица.
Определение 8. Линейный оператор в евклидовом пространстве называется ортогональным, если
(оператор сохраняет норму любого вектора).
Пример 6. Евклидово пространство - пространство всех геометрических векторов плоскости, скалярное произведение введено равенством , - оператор поворота на угол против хода часовой стрелки. Оператор - ортогональный.
В самом деле, оператор - линейный, так как из геометрических соображений ясно, что - действительного числа , . А так как при повороте длина любого вектора сохраняется, то - ортогональный оператор.
Теорема 4. Пусть - евклидово пространство, - ортогональный оператор в . Тогда
( сохраняет скалярное произведение).
Доказательство. Пусть , , рассмотрим .
Имеем
. (13.11)
С другой стороны,
. (13.12)
Сравнивая (13.11) и (13.12) заключаем, что .
Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть - евклидово пространство, (I) - ортонормированный базис, - ортогональный оператор в . Тогда система векторов (II) - ортонормированный базис.
Доказательство. Имеем
и, следовательно, - ортонормированная система. Но тогда , и по теореме 2 система (II) линейно независима, а так как , (II) – базис, и по доказанному – ортонормированный.
Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть - евклидово пространство, - ортогональный оператор в . Тогда в любом ортонормированном базисе задается ортогональной матрицей.
Доказательство. Пусть (I) – произвольный ортонормированный базис в . Тогда система векторов (II) – тоже ортонормированный базис (теорема 5).
Пусть - матрица оператора в базисе (I).
В соответствии с определением матрицы оператора (определение 3 в лекции 12) справедливо следующее равенство:
и, следовательно, матрица является матрицей перехода от базиса (I) к базису (II) (см. равенства (11.1) в лекции 11). Тогда в силу доказанного выше утверждения 2 матрица является ортогональной.
Теорема доказана.
Определение 9. Линейный оператор в евклидовом пространстве называется самосопряженным (симметрическим), если
.
Пример 7. Пусть - произвольное евклидово пространство, - тождественный оператор, т.е. .
Имеем , следовательно, симметрический.
Пример 8. Пусть - произвольное евклидово пространство, - некоторое действительное число. Положим .
Справедливо равенство
,
и, следовательно, - симметрический.
Отметим некоторые свойства симметрического оператора.
Определение 10. Матрица , , называется симметрической, если .
Теорема 7. Пусть - евклидово пространство, (I) - ортонормированный базис в , - симметрический оператор в . Тогда матрица оператора в (I) симметрическая.
Доказательство. Пусть , - матрица оператора в (I). В соответствии с определением матрицы оператора справедливы следующие равенства:
,
,
…………………………………….. ... (13.13)
.
Воспользовавшись соотношениями (13.13), получим
. (13.14)
. (13.15)
Так как - симметрический оператор, .
Сравнивая (13.14) и (13.15), находим, что , и матрица - симметрическая.
Теорема доказана.
Теорема 8. Если линейный оператор , определенный в евклидовом пространстве , задается хотя бы в одном ортонормированном базисе симметрической матрицей, оператор - симметрический.
Доказательство. Пусть - линейный оператор в евклидовом пространстве , (I) – произвольный ортонормированный базис в , , - матрица оператора в базисе (I) (т.е. справедливы равенства (13.13)), - симметрическая, или .
Пусть , . Так как (I) – базис, найдутся числа и такие, что , .
Имеем
, (13.16)
. (13.17)
Используя равенства (13.16) и (13.17) и условие, что (I) – ортонормированный базис, получим
,
.
Так как симметрическая, и , а это означает, что оператор симметрический.
Теорема доказана.
Приведем без доказательства еще одно свойство самосопряженного оператора.
Теорема 9. Пусть - евклидово пространство, - линейный оператор в . Оператор является симметрическим тогда и только тогда, когда в существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора .
Пример 9. Линейный оператор , определенный в евклидовом пространстве , задан в некотором ортонормированном базисе матрицей . Выяснить, существует ли для этого оператора базис, в котором его матрица диагональна.
Так как - симметрическая матрица (в ортонормированном базисе), оператор симметрический (теорема 8), а тогда по теореме 9 для него существует базис, состоящий из собственных векторов. В этом базисе матрица оператора диагональна (лекция 12, § 12.3).
Лекция 14
Квадратичные формы
Определение квадратичной формы. Линейное преобразование неизвестных. Ранг формы. Основная теорема о квадратичных формах. Положительно определенные формы. Критерий Сильвестра. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду |
14.1. Приведение квадратичной формы
к каноническому виду
Определение 1. Квадратичной формой от неизвестных называется сумма вида
, (14.1)
или развернуто
. (14.2)
Матрица , называется матрицей квадратичной формы (14.1), а ее ранг – рангом формы (14.1).
Если ранг формы равен , форма называется невырожденной (в этом случае ранг матрицы равен и матрица невырожденная).
В (14.2) , , , поэтому коэффициент при слагаемом можно обозначить , т.е. допустить, что .
Ввиду последнего равенства - симметрическая матрица.
Запишем квадратичную форму (14.1) в матричном виде. Пусть , тогда и
. (14.3)
Действительно, по определению умножения матриц имеем
Далее находим
и равенство (14.3) выполняется.
Определение 2. Линейным преобразованием неизвестных называется такой переход от системы неизвестных к системе неизвестных , при котором старые неизвестные выражаются через новые линейно с некоторыми коэффициентами:
(14.4)
Линейное преобразование (14.4) однозначно определяется матрицей из коэффициентов , .
Систему равенств (14.4) можно записать в матричном виде
. (14.5)
Определение 3. Линейное преобразование неизвестных с матрицей называется невырожденным, если - невырожденная матрица.
Теорема 1. Пусть вслед за линейным преобразованием (14.4) с матрицей выполняется линейное преобразование с матрицей , , . Результирующее преобразование будет линейным с матрицей .
Доказательство. По условию
(14.6)
Подставив в (14.4) выражения для , , из (14.6), получим линейные выражения для через , т.е. результат последовательного выполнения двух линейных преобразований неизвестных является линейным преобразованием.
Далее имеем , . Таким образом, результирующее преобразование имеет матрицей .
Пример 1. Вслед за линейным преобразованием
выполняется линейное преобразование
Найти матрицу результирующего преобразования и выписать выражения через .
Решение. Имеем , , где
, .
По теореме 1 матрица результирующего преобразования
,
и, таким образом,
Утверждение 1. Для любых двух матриц А и В
.
Доказательство. Пусть
, .
Обозначим , , , . По определению произведения матриц .
Обозначим . По определению транспонированной матрицы .
Обозначим . Элемент равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца = сумме произведений элементов -го столбца на соответствующие элементы -й строки , и приходим к равенству .
Таким образом, , т.е. .
Теорема 2. Квадратичная форма от n неизвестных с матрицей после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей превращается в квадратичную форму от новых неизвестных с матрицей .
Доказательство. Пусть
(14.7)
и , , .
В соответствии с утверждением 1 . Подставим и в (14.7):
.
Матрица симметрическая, так как
.
Таким образом, преобразовалась в квадратичную форму от неизвестных с матрицей .
Докажем два вспомогательных утверждения.
Утверждение 2. Ранг произведения матриц не выше ранга сомножителей.
Доказательство. Достаточно провести доказательство для двух сомножителей.
Пусть , , , .
По определению произведения двух матриц
, , (14.8)
,
,
……………………………….
,
или
,
т.е. k-й столбец матрицы является линейной комбинацией столбцов матрицы с коэффициентами и система столбцов матрицы линейно выражается через систему столбцов матрицы , следовательно, .
По определению произведения матриц .
Аналогично, фиксируя в (14.8) и придавая значения , получаем, что -я строка является линейной комбинацией строк матрицы и .
Утверждение 2 доказано.
Утверждение 3. Ранг произведения произвольной матрицы на невырожденную квадратную матрицу слева или справа равен рангу .
Доказательство. Пусть . В соответствии с утверждением 2 .
Умножим последнее равенство на справа: и опять воспользуемся леммой 2: . Отсюда .
Следствие из теоремы 2. Ранг квадратичной формы не изменяется при выполнении невырожденного линейного преобразования неизвестных.
Доказательство. Пусть - матрица квадратичной формы , - матрица некоторого невырожденного линейного преобразования неизвестных, - матрица квадратичной формы после выполнения преобразования .
По теореме 2 , а в силу утверждения 3 ( ).
Определение 4. Каноническим видом квадратичной формы называют сумму квадратов неизвестных с некоторыми коэффициентами.
Замечание. Число отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы равно рангу формы.
В самом деле, пусть квадратичная форма
(14.9)
приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием неизвестных к каноническому виду
, (14.10)
где - новые неизвестные.
Пусть - матрица квадратичной формы (14.9), , , , - матрица квадратичной формы (14.10).
Матрица имеет следующий вид: .
Согласно следствию из теоремы 2 . Утверждение, что , означает, что в матрице на диагонали ровно элементов отличны от нуля, тогда в каноническом виде (14.10) ровно слагаемых с коэффициентами, отличными от нуля.
Теорема 3 (основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по числу неизвестных.
При имеем , т.е. - канонического вида.
Пусть утверждение теоремы справедливо для : всякую квадратичную форму от неизвестного можно привести к каноническому виду некоторым невырожденным линейным преобразованием и пусть
-
квадратичная форма от неизвестных .
Случай 1. В форме присутствует квадрат хотя бы одного неизвестного. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что (в противном случае можно заново перенумеровать неизвестные). Тогда можно записать в виде
. (14.11)
Действительно,
,
и в первое слагаемое в (14.11) вошли все члены формы , содержащие неизвестное ; для того, чтобы (14.11) было справедливо, пришлось добавить, а затем вычесть несколько слагаемых, не содержащих , поэтому в (14.11) - некоторая квадратичная форма от неизвестных .
От неизвестных перейдем к по формулам
(14.12)
или в матричной записи: , где
.
Матрица невырожденная, так как , следовательно, и .
Невырожденное линейное преобразование неизвестных приводит форму к виду
. (14.13)
Квадратичная форма - форма от -го неизвестного и по предположению индукции найдется невырожденное линейное преобразование неизвестных , приводящее ее к каноническому виду . Пусть это преобразование с матрицей , :
( - невырожденная матрица и ).
Рассмотрим теперь линейное преобразование неизвестных :
(14.14)
или в матричной записи , где
.
Линейное преобразование (14.14) невырожденное, так как и приводит квадратичную форму (14.13) к виду
(14.15)
Последовательное выполнение линейных преобразований (14.12) и (14.14) является линейным преобразованием и имеет матрицей (теорема 1). Оно будет невырожденным, так как . Линейное преобразование приводит квадратичную форму к каноническому виду (14.15).
Утверждение теоремы в случае 1 доказано.
Случай 2. Квадратичная форма не содержит ни одного квадрата неизвестного ( ).
Совершим невырожденное линейное преобразование, приводящее к появлению квадратов неизвестных. Пусть, например, :
. (14.16)
Положим
или
.
Линейное преобразование невырожденное, так как , оно приведет квадратичную форму (14.16) к виду
,
появились квадраты неизвестных и , свели к уже рассмотренному случаю 1. Теорема 3 полностью доказана.
Пример 2. Квадратичную форму
привести к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования.
Решение. Соберем все слагаемые, содержащие неизвестное , и дополним их до полного квадрата
.
(Так как .)
Положим
(14.17)
и от неизвестных форма примет вид .
Далее положим (14.18)
и от неизвестных форма примет уже канонический вид
. (14.19)
Разрешим равенства (14.17) относительно :
Последовательное выполнение линейных преобразований и , где
, ,
имеет матрицей
.
Линейное преобразование неизвестных приводит квадратичную форму к каноническому виду (14.19).
14.2. Положительно определенные квадратичные формы
Определение 5. Нормальным видом квадратичной формы называется сумма квадратов неизвестных с коэффициентами «+!» или « ».
Теорема 4. Всякую квадратичную форму можно привести некоторым невырожденным линейным преобразованием неизвестных к нормальному виду.
Доказательство. Пусть - квадратичная форма ранга . Следовательно, - линейное преобразование неизвестных, приводящее к виду
, (14.20)
где , (теорема 3 и следствие из теоремы 2).
Положим
(14.21)
Равенства (14.21) можно записать в виде следующего матричного равенства:
,
где - невырожденная матрица (так как ), следовательно, существует и равенство можно разрешить относительно : .
Последовательное выполнение линейных преобразований и является линейным преобразованием с матрицей (теорема 1); линейное преобразование приводит квадратичную форму к нормальному виду
.
Теорема 4 доказана.
Определение 6. Квадратичная форма от n неизвестных называется положительно определенной, если она приводится к нормальному виду, содержащему n квадратов неизвестных с коэффициентами «+1»:
Теорема 5. Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда при любых значениях неизвестных, хотя бы одно из которых отлично от нуля, эта форма принимает положительные значения.
Доказательство. Пусть положительно определена, т.е. приводится некоторым невырожденным линейным преобразованием к виду
.
Так как - невырожденная матрица, и . Пусть , , тогда
(14.22)
Пусть - набор неизвестных, среди которых хотя бы одно отлично от нуля. Следовательно, в равенствах (14.22) среди соответствующих значений найдется . Действительно, допустим, . Тогда система линейных алгебраических уравнений
с определителем имеет единственное решение , а по условию хотя бы одно из неизвестных , , отлично от нуля, получили противоречие и, следовательно, среди , , есть . Тогда (так как ).
Обратно. Пусть . Допустим, что не является положительно определенной, - это означает, что в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма некоторым невырожденным линейным преобразованием , либо отсутствует квадрат хотя бы одного неизвестного, либо входит с коэффициентом . Пусть это неизвестное . Тогда , либо .
Рассмотрим следующий набор неизвестных :
, . (14.23)
Пусть неизвестные , , связаны с , , равенствами (14.22). Набор неизвестных , соответствующий (14.23), найдем из системы уравнений
(14.24)
Пусть - решение системы (14.24), следовательно, , так как если , не удовлетворяется, например, последнее уравнение в (14.24).
Имеем
и, таким образом, , получили противоречие, и, значит, нормальный вид квадратичной формы содержит квадратов неизвестных с коэффициентами +1 и является положительно определенной формой.
Теорема 5 доказана.
Определение 7. Пусть , , . Миноры , , , …, называются главными минорами квадратичной формы .
Сформулируем без доказательства следующее утверждение.
Теорема 6 (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры строго положительны.
Пример 3. Определить, является ли положительно определенной квадратичная форма .
Решение. Составим матрицу квадратичной формы
Главные миноры формы , , , согласно критерию Сильвестра форма не является положительно определенной.
14.3. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Пусть на плоскости задана декартова система координат (декартов базис , и точка О – начало координат). Рассмотрим общее уравнение 2-го порядка:
. (14.25)
Обозначим через сумму старших слагаемых:
и рассмотрим квадратичную форму
.
Ее матрица симметрическая.
Пусть - произвольное евклидово пространство, , - линейный оператор в с матрицей в базисе , , следовательно, - самосопряженный оператор в . Тогда существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора (см. лекцию 13, § 13.3, теорема 9), в этом базисе матрица оператора диагональная и имеет вид , где - собственные значения (см. § 12.3).
Если матрица перехода от базиса , к базису , то (см. § 12.2).
Рассмотрим теперь линейное преобразование неизвестных с матрицей : . Квадратичная форма от новых неизвестных имеет вид , где .
Итак, если - ортонормированный базис из собственных векторов оператора , матрица как матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному ортогональна ( ) , следовательно, матрица квадратичной формы от неизвестных диагональная и .
Такой способ приведения квадратичной формы к каноническому виду называется методом собственных векторов.
Пример 4. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом собственных векторов.
Матрица квадратичной формы имеет вид . Рассмотрим в произвольном евклидовом пространстве , , линейный оператор с матрицей в некотором ортонормированном базисе . Найдем его собственные векторы.
Характеристическое уравнение , , его корни , .
Имеем для : и , ;
для : и , .
Положим , и получим , .
В базисе , матрица оператора диагональная: . Нормируем векторы и : и , .
Матрица перехода от базиса , к базису , . Вернемся к квадратичной форме. Положим , т.е.
(14.26)
Тогда .
Замечание. Формулы (14.26) – формулы поворота осей координат на угол против хода часовой стрелки. Угол определяется соотношениями
, ( ).
В общем случае преобразование поворота
(14.27)
приведет линию (14.25) к виду
. (14.28)
Эта процедура называется приведением линии 2-го порядка к главным осям (из дальнейшего изложения будет ясно, что, если (14.25) – эллипс или гипербола, новые оси и параллельны главным осям кривой).
Коэффициенты и в уравнении (14.28) – характеристические числа матрицы и могут быть найдены как корни уравнения , или
. (14.29)
Обозначим , .
Имеем (действительно, из (14.29) находим , или , и по теореме Виета ).
Случай 1. (кривая эллиптического типа).
Преобразуем (14.28) следующим образом:
,
или, обозначив , придем к равенству
.
Положим (14.30)
и в новой системе координат имеем
. (14.31)
Формулы (14.30) – формулы параллельного переноса начала координат в точку .
Случай 1. а) Знак противоположен знаку (и, следовательно, знаку ). Тогда (14.31) определяет эллипс:
;
б) , уравнение (14.31) определяет одну точку: ;
в) Знаки и совпадают, нет точек (мнимый эллипс).
Случай 2. (кривая гиперболического типа).
В этом случае знаки и противоположны.
а) , уравнение (14.31) определяет гиперболу:
;
б) , уравнение (14.31) принимает вид:
.
Пусть , тогда и уравнение (14.31) можно переписать в следующем виде:
. (14.32)
Уравнение (14.32) определяет пару пересекающихся прямых: .
Случай 3. (кривая параболического типа).
Пусть для определенности (тогда ).
Уравнение (14.25) преобразованием (14.27) приводится к виду
. (14.33)
Пусть , тогда (14.33) можно переписать следующим образом:
.
Получим и
. (14.34)
Уравнение (14.34) определяет параболу.
Если же , то уравнение (14.33) перепишем в виде
.
Обозначив и положив , придем к уравнению
. (14.35)
а) , уравнение (14.35) определяет пару параллельных прямых: .
б) , уравнение (14.35) определяет пару совпадающих прямых: .
в) , нет точек (пара мнимых прямых).
Сведем полученные результаты в таблицу:
Кривая эллиптического типа |
и разных знаков |
Эллипс |
|
и одного знака |
Мнимый эллипс |
||
|
Точка |
||
Кривая гиперболического типа |
|
Гипербола |
|
|
Пара пересекающихся прямых |
||
Кривая параболического типа |
|
и одного знака |
Пара мнимых параллельных прямых |
и разных знаков |
Пара параллельных прямых |
||
|
Пара совпадающих прямых |
||
|
|
Парабола |
Пример 5. Определить вид и расположение кривой 2-го порядка
. (14.36)
Слагаемые 2-го порядка в (14.36) составляют квадратичную форму
,
которую преобразование неизвестных по формулам
(14.37)
приводит к сумме квадратов (пример 4).
Тогда уравнение кривой (14.36) преобразованием (14.37) приводится к виду
.
Здесь , и, следовательно, , кривая эллиптического типа.
Как в случае 1, соберем слагаемые, содержащие неизвестное и дополним их до полного квадрата, аналогично поступим со слагаемыми, содержащими :
, или
Положим и получим
. (14.38)
Уравнение (14.38) – уравнение эллипса с полуосями и центром в точке . Рис. 14.1 - схематический рисунок кривой.