Свойства операций сложения матриц и умножения на число:
1. Сложение коммутативно: .
2. Сложение ассоциативно: .
3. Существует нулевая матрица , удовлетворяющая условию для всех А.
4. Для любой матрицы А существует противоположная матрица В, удовлетворяющая условию .
Для любых матриц А и В и любых действительных чисел имеют место равенства:
5. .
6. .
7. .
8. .
Проверим свойство 1. Обозначим , . Пусть , , . Имеем
,
и так как равенство доказано для произвольного элемента, в соответствии с определением 5 . Свойство 1 доказано.
Аналогично доказывается свойство 2.
В качестве матрицы возьмем матрицу порядка , все элементы которой равны нулю.
Сложив с любой матрицей по правилу, данному в определении 6, мы матрицу не изменим, и свойство 3 справедливо.
Проверим свойство 4. Пусть . Положим . Тогда , следовательно, свойство 4 справедливо.
Проверку свойств 5 - 8 опустим.
Определение 8. Произведением матрицы , , , на матрицу , , , называется матрица , , , с элементами .
Краткая запись: .
Пример 10. Найти произведение матриц
и .
В соответствии с определением 8 найдем
.
Пример 11. Перемножить матрицы
и .
Имеем
.
Замечание 1. Число элементов в строке матрицы равно числу элементов в столбце матрицы (число столбцов матрицы равно числу строк матрицы ).
Замечание 2. В матрице строк столько же, сколько в матрице , а столбцов столько же, сколько в .
Замечание 3. Вообще говоря, (умножение матриц некоммутативно).
Чтобы обосновать замечание 3, достаточно привести хотя бы один пример.
Пример 12. Перемножим в обратном порядке матрицы и из примера 10.
,
таким образом, в общем случае .
Отметим, что в частном случае равенство возможно.
Матрицы и , для которых выполняется равенство , называются перестановочными, или коммутирующими.
Свойства умножения матриц:
Умножение дистрибутивно:
, .
2. Умножение ассоциативно: .
Докажем свойство 1. Пусть , , , , , , , , .
Обозначим , , , , , , , .
Имеем
,
и, таким образом, в соответствии с определением 6 , или, возвращаясь к старым обозначениям, . Свойство 1 доказано.
Так как умножение матриц некоммутативно, следовало бы доказать и правую дистрибутивность: . Опустим доказательство, так как оно аналогично приведенному доказательству левой дистрибутивности.
Докажем свойство 2. Пусть , , , , , , , , .
Обозначим , , , , , , , , , , , .
Имеем
,
таким образом, .
Вернемся к старым обозначениям и получим: , т.е. свойство 2 доказано.
Для квадратных матриц справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.
Теорема 2. Для любых двух квадратных матриц и
.
Приведем пример, иллюстрирующий утверждение теоремы 2.
Пример 13. Даны матрицы
и .
Вычислить .
Воспользуемся теоремой 2: .
Найдем произведение непосредственно:
. Следовательно, результаты совпадают.
Лекция 7
Обратная матрица. Ранг матрицы
Построение обратной матрицы методом присоединенной. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы методами окаймляющих миноров и элементарных преобразований |
7.1. Обратная матрица
Далее будут рассматриваться квадратные матрицы.
Единичная матрица
в умножении квадратных матриц порядка играет роль, аналогичную роли числа единица в умножении чисел:
. (7.1)
Действительно, пусть
.
Непосредственная проверка дает: . Аналогично , и равенство (7.1) справедливо.
Утверждение 1. Матрица - единственная матрица, обладающая свойством (7.1).
Доказательство. Пусть такая, что
. (7.2)
Рассмотрим произведение :
.
Определение 1. Пусть - произвольная квадратная матрица. Матрица называется правой обратной для , если . Матрица называется левой обратной для , если .
Определение 2. Квадратная матрица называется вырожденной (особенной), если , и невырожденной (неособенной), если .
Утверждение 2. Вырожденная матрица не имеет ни правой, ни левой обратной.
Доказательство. Пусть - вырожденная. Допустим, - правая обратная для , т.е. .
Тогда , но , что является противоречием, следовательно, не имеет правой обратной.
Аналогично доказывается, что не имеет и левой обратной.
Утверждение 3. Пусть - произвольный определитель порядка . Сумма произведений всех элементов любого столбца (строки) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю.
Доказательство. Пусть
.
В силу теоремы о разложении по строке (лекция 6, теорема 1) имеем
,
где - алгебраическое дополнение к элементу .
Пусть - произвольные вещественные числа. Рассмотрим сумму .
Привлекая ту же теорему о разложении по строке, можем записать
.
Возьмем в качестве чисел , , элементы -го столбца определителя , , тогда
Утверждение 3 доказано.
Перейдем к построению обратной матрицы методом присоединенной. Пусть - невырожденная матрица порядка :
.
Матрица
называется присоединенной для . Элементами матрицы являются алгебраические дополнения к элементам матрицы , причем алгебраические дополнения к элементам i-й строки матрицы помещены в i-й столбец .
Обозначим .
Матрица является правой и левой обратной для .
Действительно,
Следовательно, матрица - правая обратная для . Аналогично , и матрица является и левой обратной для . Она называется обратной для и обозначается .
Итак,
.
Утверждение 4. Матрица - единственная обратная для .
Действительно, допустим, такая, что .
Рассмотрим . С другой стороны, , следовательно, .
Пример 1. Найти для матрицы .
Решение. Имеем , следовательно, существует.
Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы и составим присоединенную матрицу:
.
Откуда .
Пример 2. Решить матричное уравнение
.
Решение. Обозначим . Тогда исходное уравнение примет вид
. (7.3)
Имеем
.
Домножим обе части уравнения (7.3) слева на матрицу и получим
.
Итак,
,
.
7.2. Ранг матрицы
Пусть - прямоугольная матрица размера :
.
Назовем арифметическими -мерными векторами упорядоченные наборы чисел, строки матрицы , и обозначим их через , ,…, .
Нулевым арифметическим вектором назовем .
Будем говорить, что система векторов линейно зависима, если , не все равные нулю, что .
Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.
Пример 3. В матрице
, , .
Имеем , следовательно, и система строк матрицы линейно зависима.
Заметим, что и столбцы матрицы можно рассматривать как арифметические -мерные векторы.
Определение 3. Пусть - прямоугольная матрица размера . Выберем в произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют определитель порядка , который называется минором порядка матрицы .
Определение 4. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы .
Обозначение ранга : .
Пример 4. Найти ранг матрицы :
.
Решение. Заметим, что миноры первого порядка - это элементы матрицы. Выпишем их все (в данном случае, миноров первого порядка восемь): .
Уже на этом шаге можно утверждать, что , так как среди миноров 1-го порядка есть отличные от нуля.
Выпишем все миноры 2-го порядка:
, , , , ,
и отметим, что, например, и по определению 4 (миноров третьего порядка из элементов матрицы составить нельзя, так как содержит всего две строки).
Пусть матрица имеет размер и . Это означает, что хотя бы один минор порядка отличен от нуля, а все миноры порядка и выше равны нулю. Минор называется базисным, а столбцы матрицы, его содержащие, - базисными столбцами матрицы (строки, содержащие минор , называются базисными строками).
Теорема 1 (о базисном миноре). Столбцы, содержащие базисный минор, линейно независимы. Любой столбец матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов одного и того же базисного минора.
Доказательство. Пусть и отличен от нуля минор , расположенный в первых строках и первых столбцах матрицы , т.е. в левом верхнем углу:
.
Докажем сначала, что арифметические векторы
, ,
составляют линейно независимую систему.
Допустим, что линейно зависимы, тогда , , что , т.е. выполняется система тождеств:
(7.4)
Первые равенств системы (7.4) можно переписать в виде
.
Учитывая, что , получим
;
-й столбец определителя оказался линейной комбинацией остальных. Тогда - противоречие, и, следовательно, векторы линейно независимы.
Докажем теперь, что любой столбец матрицы является линейной комбинацией первых столбцов.
Рассмотрим вспомогательный определитель
,
полученный "окаймлением" минора элементами -й строки и -го столбца, . Утверждается, что .
Действительно, возможны два случая.
Случай 1: . Тогда - минор матрицы порядка и по условию (наивысший порядок отличных от нуля миноров равен , следовательно, все миноры порядка равны нулю).
Случай 2: . Тогда содержит две одинаковые строки, следовательно, .
Итак, всегда . Разложим по последней строке.
Отметим, что если - алгебраическое дополнение к элементу из последней строки определителя , то
,
и не зависит от ( был номером строки в матрице , а в эти элементы занимают -ю строку). Поэтому алгебраические дополнения к элементам в , , можем обозначить .
.
Полагая , получим равенств:
,
,
…………………………………………
,
или в матричной форме:
,
т.е. -й столбец матрицы оказался линейной комбинацией первых столбцов с коэффициентами .
Было принято, что .
Если , то
.
Таким образом, любой столбец матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов.
Теорема доказана.
Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для строк: строки, содержащие базисный минор, линейно независимы, через них линейно выражаются все остальные строки матрицы.
Теорема 2. Если в матрице некоторый минор порядка отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то .
Доказательство этого утверждения опустим.
Пример 5. Найти ранг матрицы :
Решение. Имеем (следовательно, ).
; ( );
;
;
.
Таким образом, известен минор второго порядка, отличный от нуля ( ), а все миноры третьего порядка, окаймляющие его, равны нулю, следовательно, .
Базисный минор . Через первый и третий столбцы линейно выражаются остальные столбцы матрицы.
Изложенный способ нахождения ранга матрицы называется методом окаймляющих миноров.