Метод элементарных преобразований
Определение 5. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:
1) перестановка двух строк (столбцов) матрицы;
2) умножение всех элементов строки (столбца) на вещественное число ;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.
Справедливо следующее утверждение, которое приводится без доказательства.
Теорема 3. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.
Определение 6. Матрица размером имеет диагональную форму, если , кроме , , т.е.
.
Отметим, что , так как минор порядка , расположенный в левом верхнем углу (в первых строках и первых столбцах), отличен от нуля, а все миноры, окаймляющие его, равны нулю (они содержат столбец из нулей).
Утверждение. Всякую матрицу элементарными преобразованиями можно привести к диагональной форме.
Действительно, пусть
.
Если , то по определению 6 имеет диагональную форму.
Если , то, переставляя строки и столбцы, можно добиться того, что . Умножим все элементы первой строки на :
.
Первую строку, умноженную на , прибавим ко второй, умноженную на - к третьей,…, умноженную на - к -й. Таким образом, получим матрицу
.
Первый столбец, умноженный на , прибавим ко второму,..., умноженный на - к -му, получим
.
С матрицей, оставшейся в правом нижнем углу, совершим аналогичные преобразования. После конечного числа шагов придем к матрице диагонального вида.
Пример 6. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.
Решение. Договоримся об обозначениях. Запись будет означать, что матрица получена из матрицы с помощью элементарных преобразований. При этом -ю строку исходной матрицы обозначим , а -ю строку преобразованной матрицы - . Для -х столбцов будем использовать соответственно обозначения , .
Матрица приобрела диагональную форму, .
Упражнение. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований:
.
Лекция 8
Системы линейных алгебраических уравнений
-
Первоначальные понятия. Метод Гаусса
8.1. Метод Гаусса
Пусть дана система уравнений первой степени (линейных) с неизвестными. Неизвестные обозначим , уравнения будем считать пронумерованными: первое, второе,…, -е. Коэффициент из -го уравнения при неизвестном обозначим , свободный член - .
Система запишется в следующем виде:
(8.1)
Определение 1. Решением системы линейных уравнений (8.1) называется такой набор чисел , что каждое из уравнений (8.1) обращается в тождество после замены неизвестных числами , .
Определение 2. Система (8.1) называется несовместной, если она не имеет решений, и совместной, если она имеет решения.
Определение 3. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного.
Определение 4. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они обе несовместны, или обе совместны и имеют одни и те же решения.
Наиболее удобным для практического разыскания решений системы (8.1) является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса.
Выполним следующие преобразования системы: обе части одного уравнения умножим на некоторое число и прибавим к обеим частям другого уравнения. Покажем, что мы придем к эквивалентной системе.
Пусть обе части первого уравнения системы (8.1), умноженные на число , прибавляются к обеим частям второго уравнения. Получаем систему
(8.2)
где , …, , .
Пусть - решение системы (8.1). Это означает, что выполняются тождества:
(8.3)
Равенства (8.3) означают, что набор чисел удовлетворяет первому, третьему,…, -му уравнению системы (8.2). Удовлетворяют эти числа и второму уравнению, так как, если к обеим частям второго тождества в системе (8.3) прибавить обе части первого, умноженные на , получим
.
Таким образом, всякое решение системы (8.1) является решением системы (8.2).
Справедливо обратное. Пусть - решение системы (8.2), тогда
.
(8.4)
Тождества (8.4) означают, что набор чисел удовлетворяет первому, третьему,…, -му уравнению системы (8.1). Если к обеим частям второго тождества в (8.4) прибавить обе части первого, умноженные на , получим
,
то есть удовлетворяют также второму уравнению в (8.1), и всякое решение системы (8.2) является решением системы (8.1). Системы (8.1) и (8.2) в соответствии с определением 4 эквивалентны.
Перейдем к изложению метода Гаусса.
Дана система (8.1). Пусть (если это не так, возьмем в качестве первого любое другое уравнение с коэффициентом при , отличным от нуля, и перенумеруем уравнения; хотя бы одно такое уравнение найдется, иначе просто отсутствовал бы).
Обе части первого уравнения, умноженные на , прибавим к обеим частям второго уравнения, умноженные на , - к обеим частям третьего и т.д., умноженные на - к обеим частям -го уравнения. Придем к новой системе:
(8.5)
Система (8.5) эквивалентна системе (8.1).
Первое неизвестное исключили из всех уравнений системы, начиная со второго.
Уже после первого шага может встретиться уравнение вида
, . (8.6)
Если , этому уравнению удовлетворяет любой набор чисел . В этом случае уравнение будем отбрасывать. Если , уравнению (8.6) не удовлетворяет никакой набор чисел , и система, содержащая такое уравнение (8.6), несовместна, следовательно, несовместна и эквивалентная ей система (8.1). В этом случае преобразования по методу Гаусса будем прерывать.
Итак, имеем систему (8.5). Среди коэффициентов , , , есть отличные от нуля (иначе либо система несовместна, либо уравнения можно отбросить). Пусть для определенности (если , но отличен от нуля коэффициент при в другом уравнении, можно перенумеровать уравнения, если , можно перенумеровать неизвестные). Обе части второго уравнения, умноженные на , прибавим к обеим частям третьего уравнения и т.д., обе части второго уравнения, умноженные на , - к обеим частям -го уравнения. Этим исключим неизвестное из всех уравнений, кроме первого и второго, и придем к системе
Аналогичным образом продолжим процесс исключения неизвестных.
Если после нескольких шагов получим уравнение вида (8.6), в котором , можно сделать вывод о несовместности системы. Если же такое уравнение не встретится, придем к системе
(8.7)
эквивалентной системе (8.1). Здесь , , …, , .
При система (8.7) имеет вид
(8.8)
Из последнего уравнения найдем значение ( ), подставим в -е, найдем ( ) и т.д. до первого уравнения, из которого определится . Система (8.8) в этом случае имеет единственное решение и эквивалентная ей система (8.1) является определенной.
При в последнем уравнении системы (8.7) присвоим неизвестным произвольные числовые значения:
.
Из последнего, -го, уравнения системы (8.7) найдем ( ), подставим в -е уравнение, найдем и т.д., двигаясь снизу вверх по системе (8.7), найдем вполне определенные значения . Так как значения для неизвестных можно выбрать бесчисленным множеством способов, система (8.7) в случае будет неопределенной.
Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. Если в процессе преобразований встретится уравнение, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, система несовместна. Если такое уравнение не встретится, система совместна. Она является определенной, если приводится к треугольному виду (8.8), и неопределенной, если приводится к трапецеидальному виду (8.7).
Пример. Решить систему методом Гаусса:
Решение. Исключаем неизвестное . Первое уравнение, умноженное на , прибавляем ко второму, умноженное на , – к третьему и четвертому, получаем
Обе части второго уравнения умножаем на :
.
Второе уравнение, умноженное на , прибавляем к третьему, умноженное на , - к четвертому, получаем:
Обе части третьего уравнения, умноженные на , прибавляем к четвертому уравнению, получаем
Последнее уравнение отбрасываем, из третьего уравнения находим , подставляем во второе и находим . Затем и подставляем в первое уравнение , откуда .
Итак, , , - решение исходной системы, найденное методом Гаусса.
Лекция 9
Исследование и решение произвольной системы линейных уравнений
Правило Крамера. Исследование произвольной системы линейных алгебраических уравнений. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений |
9.1. Правило Крамера
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений с неизвестными:
(9.1)
Обозначим , . будем называть определителем системы (9.1).
Обозначим , . Система (9.1) равносильна матричному уравнению
. (9.2)
Теорема 1. Если , то система (9.1) имеет, притом единственное, решение.
Доказательство. Так как , то . Умножим обе части (9.2) на слева:
.
Итак, решением матричного уравнения (9.2) является матрица - матричное уравнение (9.2) имеет решение, следовательно, система (9.1) совместна.
(9.3)
Решение системы (9.1) дается формулами (9.3), и так как , , вполне определенные числа, единственно.
Теорема доказана.
Правило Крамера: если , то решение системы (9.1) может быть найдено по формулам , , где - определитель, который получится из , если столбец коэффициентов при заменить столбцом свободных членов.
Пример 1. По правилу Крамера, если оно применимо, решить систему
Решение. Имеем
,
следовательно, правило Крамера применимо.
,
,
.
По формулам (9.3) находим
, , .
9.2. Исследование произвольной системы
линейных уравнений
Пусть дана система уравнений с неизвестными:
(9.4)
Обозначим матрицу из коэффициентов
.
Матрица содержит матрицу и еще столбец свободных членов, она называется расширенной матрицей по отношению к :
.
Теорема 2 (Кронекера - Капелли). Система совместна тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Необходимость. Пусть система (9.4) совместна и - решение (9.4), следовательно, справедливы тождества
(9.5)
В матрице к последнему столбцу прибавим первый, умноженный на , второй, умноженный на ,…, -й, умноженный на Получим, учитывая (9.5),
~ .
Поскольку выполнялись элементарные преобразования, то , но (добавление столбца из нулей не может изменить ранга), отсюда
.
Достаточность. Пусть . Это означает, что существует минор порядка , а все миноры порядка , окаймляющие , равны нулю.
Пусть расположен в левом верхнем углу матрицы (это предположение не ограничивает общности рассуждений, так как можно переставить уравнения и перенумеровать неизвестные и тем самым добиться того, что будет расположен в первых строках и первых столбцах матрицы ):
.
Тогда первые строк матрицы линейно независимы, а остальные строк являются их линейной комбинацией (теорема о базисном миноре), следовательно, через первые уравнений линейно выражаются остальные уравнений. Таким образом, вся система (9.4) эквивалентна первым уравнениям:
(9.6)
Случай 1: . Система (9.6) имеет единственное решение (определитель системы (9.6) , - применяем теорему 1). Его можно найти, например, по правилу Крамера.
Случай 2: . Перепишем (9.6) в виде
(9.7)
Неизвестные назовем главными, - свободными.
Присвоим свободным неизвестным произвольные числовые значения, положим . Тогда согласно теореме 1 из системы (9.7) определится единственный набор главных неизвестных. Таким образом, набор чисел , является решением системы (9.4).
Значения свободных неизвестных можно выбрать бесчисленным множеством способов, поэтому система (9.4) имеет бесчисленное множество решений.
И в случае 1, и в случае 2 система оказалась совместной. Достаточность доказана.
Определение 1. Формула, выражающая решение системы (9.4) в виде вектор-функции свободных неизвестных, называется общим решением системы (9.4):
.
Пример 2. Исследовать совместность системы и, если система совместна, найти общее решение и одно частное:
Решение. Найдем ранг матриц и :
~ ~
~ .
Итак, (минор второго порядка , все миноры, его окаймляющие, равны нулю и в , и в ). Следовательно, согласно теореме 2 система совместна.
Так как , система имеет бесчисленное множество решений.
Вся система эквивалентна системе первых двух уравнений:
В качестве главных неизвестных возьмем и ( ), свободных - и и перепишем систему в виде
-
"укороченная" система.
Отсюда
и .
Общее решение
.
Частное решение получим, присвоив конкретные числовые значения свободным неизвестным, например, , тогда
.
9.3. Системы линейных однородных
алгебраических уравнений
Пусть дана система линейных однородных уравнений
(9.8)
Система (9.8) всегда совместна (решение всегда присутствует среди решений).
Если , то это решение - единственное, если , система (9.8) имеет бесчисленное множество решений (и, следовательно, есть решения, отличные от ).
Теорема 3. Любая линейная комбинация решений системы однородных линейных уравнений (9.8) является решением системы (9.8).
Доказательство. Пусть и - произвольные решения системы (9.8).
Пусть - некоторое число, . Подставим
в -е уравнение системы (9.8):
удовлетворяет -му уравнению системы (9.8) при произвольном , , т.е. является решением (9.8).
Пусть - произвольное вещественное число, .
Подставим в -е уравнение системы (9.8), :
- решение (9.8).
Итак, сумма любых двух решений системы (9.8) и произведение любого решения на число являются решениями системы (9.8), следовательно, любая линейная комбинация решений системы (9.8) является решением.
Определение 2. Пусть дана система линейных однородных уравнений с n неизвестными и матрицей , . Пусть неизвестные являются свободными.
Обозначим через , , то единственное решение системы, которое получится, если неизвестному присвоить значение , а остальным свободным неизвестным - значение .
Система решений называется фундаментальной системой решений данной системы линейных однородных уравнений.
Справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.
Теорема 4. Пусть дана система линейных однородных уравнений с матрицей , , и - фундаментальная система решений. Тогда всякое решение системы является линейной комбинацией решений .
Пример 3. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы
(9.9)
Решение. Первое уравнение, умноженное на , прибавим ко второму:
Отсюда .
Общее решение
,
свободными являются неизвестные и , главными - и .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы и составляют фундаментальную систему решений системы (9.9)
.
Последнее равенство можно проверить непосредственно.
Лекция 10
Линейные пространства
-
Аксиоматическое определение линейного
пространства. Базис и размерность
линейного пространства
10.1. Аксиоматическое определение
линейного пространства
Определение 1. Совокупность элементов произвольной природы называется линейным пространством, если для любых элементов и из установлено понятие суммы , а для любого элемента из и любого действительного числа установлено понятие произведения элемента на число , обозначаемое . При этом для введенных операций выполнены следующие восемь аксиом:
1. Сложение коммутативно: .
2. Сложение ассоциативно: .
3. Существует нулевой вектор , удовлетворяющий условию для всех .
4. Для любого вектора существует противоположный вектор , удовлетворяющий условию .
Для любых векторов , и любых действительных чисел имеют место равенства:
5. .
6. .
7. .
8. .
Элементы линейного пространства принято называть векторами.
Пример 1. Совокупность всех многочленов степени составляет линейное пространство.
Решение. Проверим выполнение всех аксиом.
В самом деле, пусть
;
.
По правилу сложения двух многочленов имеем
,
следовательно, аксиома 1 выполняется.
Аксиома 2 проверяется аналогично.
В качестве нулевого вектора берем многочлен, тождественно равный нулю: .
Для любого многочлена имеет место аксиома 3:
.
Проверим выполнение аксиомы 4.
Пусть - произвольный многочлен из . В качестве противоположного элемента возьмем многочлен . По свойству сложения многочленов имеем
.
Таким образом, аксиома 4 верна.
Аксиомы 5 - 8 проверяются аналогично.
Так как все аксиомы линейного пространства выполняются для множества многочленов степени , то является линейным пространством.
Пример 2. Совокупность всех квадратных матриц порядка 2 составляет линейное пространство.
Решение. Проверим выполнение аксиом.
Пусть , .
По правилу сложения матриц
.
Но элементы матриц - вещественные числа, следовательно, и
,
аксиома 1 выполняется.
Пусть .
По правилу сложения матриц
,
.
Так как элементы матриц - вещественные числа , откуда
,
аксиома 2 выполняется.
В качестве нулевого вектора выступает матрица .
Действительно, для любой матрицы имеем:
,
аксиома 3 выполняется.
Для произвольной матрицы в качестве противоположного элемента возьмем матрицу .