16,Теореми порівняння (довести одну з них)
Теореми порівняння.
Т1.Якщо
послідовність {
}:{
}мають
границі
=
,і
починаючи з деякого номера N,
виконується рівність
(
),то
.
Т2.Якщо послідовність { } має границю , рівну ,причому а>0,то існує такий номер N, починаючи з якого всі члени послідовності від’ємні .
Т3.Якщо послідовність { } має границю рівну ,причому а>0, то існує такий номер N
, починаючи з якого всі члени послідовності від’ємні.
Т4.Якщо
послідовності {
}і{
}
мають границі
,
,
причому виконується нерівність а>b
то,починаючи з деякого номера N,виконується
нерівність
.
Дано:
=
a>b
Довести:
,
Доведення:Розглянемо
послідовність {
}={
-
}.Знайдемо
границю послідовності {
}.
=
(
-
)=
-
=а-b>0.
За Т2 з останньої нерівності випливає, що існує такий номер N, починаючи з якого виконується нерівність >0 чи > .
Т5.Якщо
послідовності {
}і{
}
мають границі
=
і
,і,починаючи з деякого номеру N,виконується
нерівність
>=
,(
),
то
>=
Т6.(Гур’єва)
.Якщо послідовності {
}і{
}
мають одну й ту саму границю, рівну
а,і,починаючи з деякого номера
,виконується
нерівність
<=
<=
,(
),то
=
а.
17) Озн. Функція у= f(x) називається неперервною в точці х0, якщо виконуються наступні три умови:
1. функція визначена в точці х0 та в деякому її околі V(х0)
2. існує границя функції в точці х0
3. границя функції в точці х0 = значенню функції в цій точці.
Т. (про арифметичні операції над функціями неперервними в точці)
Якщо функції f(x) і g(x) неперервні в точці х0, то в точці х0:
1) неперервна сума функцій f(x)+g(x)
2) неперервна різниця функцій f(x)-g(x)
3) неперервна функція с1f(x)+с2g(x), де с1 і с2 – const.
4) неперервний добуток функцій f(x)*g(x)
5) неперервна частка функцій f(x)/g(x), за умови g(x0)<>0
21 Таблиця похідних основних елементарних функцій. Довести (на вибір) три із них.
Довдення:
1.
Для того ,щоб знайти похідну степеневої функції, логарифмуємо рівність
lny = alnx
Диференціюючи обидві частини рівності маємо
2.
За формулою для похідної показникової функції одержуємо
22. Означення монотонних ф. Довести теорему – критерій монотонності ф.
Озн
ф. Ф у=f(x)
наз
зростаючою на інтервалі (а,в), якщо для
довільних значень 
з інтервалу (а,в),таких, що 
>
,
виконується нерівність f(
)>
f(
).
Озн. ф у=f(x)
наз спадною на інтервалі (а,в), якщо
довільних значень
з інтервалу (а,в), таких, що
>
виконується
нерівність f(
)<f(
).
Т.для того, щоб диференційована ф у=f(x)
була зростаючою в широкому сенсі на
інтервалі (а,в), необхідно і достатньо,
щоб у цьому інтервалі похідна ф була
невідємною.Т. для того, щоб диференційована
ф у=f(x)
була спадаючою в широкому сенсі на
інтервалі (а,в), необхідно і достатньо,
щоб у цьому інтервалі похідна ф бцла
недодатньою.Доведення.дано: f(x)
– диференційована х є (а,в), f(x)
– неспадна на інтервалі (а,в).Довести:
(x)>=0
х є (а,в). якщо ф f(x)
неспадна у заданому інтервалі, то
вибравши довільним чином точку х і
додавши їй приріст 
0
так, щоб х + 
одержимо 
(x+
)>=
f(x).
За умовою f(x)
– диференційована на інтервалі (а,в),
тобто існує похідна ф.
(x)=
>=0.
Доведення достатньої умови повторює
доведення достатньої умови зростання
ф. дано:
(x)>0,
x
є (а,в). довести:
f(x)
– зростає на інтервалі (а,в). виберемо
дві довільні
з проміжку (а,в),що
>
ормулою
Лагранжа маємо f(
)-
f(
)=
(с)
(
(а,в),
оскільки
(с)>0
>0
f(
)-f(
)>0
f(
)>f(
)