1. Визначники другого, третього, n–го порядків, їх властивості. Довести 3 властивості визначників.

Визначником другого порядку називається вираз ∆, який обчислюється за правилом:

Визначник другого порядку дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі, мінус добуток елементів, розміщених на другій діагоналі.

Властивості визначників 2-го порядку:

1. Транспонування визначника не змінює його величини:

Доведення:

2. Якщо у визначнику переставити місцями два паралельні ряди, то визначник змінює свій знак на протилежний, не змінюючи абсолютної величини

Доведення:

3. Якщо визначник має два рівні паралельні ряди, то такий визначник дорівнює нулю

Доведення:

4. Якщо елементи якого-небудь ряду визначника мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника

Доведення:

5. Якщо визначник має два пропорційних ряди, то такий визначник дорівнює нулю.

6. Якщо у визначника який-небудь ряд повністю складається з нулів, то такий визначник дорівнює нулю

7. Якщо у визначника елементи і-го ряду є сумою двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, елементи і-го ряду у першому визначнику є перші доданки, у другому – другі, інші елементи визначників-доданків такі ж, як і в заданому випадку.

8. Визначник не змінюється, якщо до елементів будь-якого ряду додати відповідні елементи паралельного ряду, помножені на одне й те саме число.

Означення. Визначником третього порядку називається вираз ∆, який обчислюється за правилом:

Озн. Визначником n-го порядку називається вираз:

, який дорівнює сумі n! доданків, взятих з відповідним знаком, кожний з доданків є добутком n елементів, що беруться по одному з кожного рядка і кожного стовпця.

9. Якщо елементи якого-небудь ряду визначника дорівнюють сумі добутків елементів паралельних рядів на деяке число, то такий визначник=0

10. Сума добутків елементів деякого ряду визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів паралельного ряду=0

11. Сума добутків алгебраїчних доповнень елементів j-го ряду визначника відповідно на числа b1, b2,…,bn дорівнює визначнику, який утворює з даною зміною j-го ряду числами b1, b2, …,bn.

2. Означення оберненої матриці. Довести теорему (необхідну і достатню умову існування оберненої матриці).

Озн. Матриця називається оберненою до матриці А і позначається А^-1, якщо А*А^-1=

А^-1*А=Е.

Обернена матриця існує лише для квадратних матриць.

Теорема. Для того, щоб матриця А мала обернену, необхідно і достатньо, щоб матриця А була не виродженою (визначник матриці≠0).

Доведення:

Дано: А^-1 – обернена до А

Довести: А – не вироджена

Доведення: Оскільки А^-1 – обернена до А→А*А^-1=Е. За властивістю добутку матриць маємо . З останньої рівності випливає, що , тобто матриця А є не виродженою.

Дано: А – не вироджена

Довести: А^-1 – існує

Доведення:

Для кожного визначника матриці знайдемо алгебраїчне доповнення А_ij(I,j=1,n). Розглянемо матрицю А^-1

Покажемо, що матриця А^-1 є оберненою до матриці А. А*А^-1=А^-1*А=Е

Теорема. Якщо матриця А має обернену А^-1, то матриця А^-1 лише одна.

Дано: А^-1 – обернена А

Довести: А^-1 – тільки одна

Доведення: Припустимо, що існує ще одна матриця Х, яка є оберненою до А. А*Х=Х*А=Е. Розглянемо рівність А*Х=Е.

А^-1*А*Х=А^-1*Е→Е*Х=А^-1*Е→Х=А^-1