3. Системи n лінійних рівнянь з n невідомими, основні означення. Довести теорему (правило Крамера).

Систему n лінійних рівнянь з n невідомим можна записати у вигляді:

Означення. Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо всі її вільні члени =0, якщо хоча б один член ≠0, то система неоднорідна.

Озн. Розв’язком системи називається впорядкована сукупність чисел a₁,a_2,...a_n, якщо при підстановці цих чисел усі рівняння системи перетворюються у правильні числові рівності.

Озн. Якщо система має хоча б один розв’язок, то система сумісна, а якщо система немає розв’язків то система несумісна.

Озн. Якщо сумісна система має один розв’язок, то вона визначена, а якщо безліч – невизначена.

Правило Крамера:

, де ∆_j - допоміжні визначники

1. Якщо ∆=0 і всі ∆_j =0, то система невизначена

2. Якщо ∆=0 і хоча б один з усіх ∆_j ≠0, то система несумісна

Доведення:

Знайдемо алгебраїчні доповнення А_ij (i=1,n;j=1,n)

Для визначення невідомого x₁, помножимо перше рівняння системи на А₁₁, друге – на А_21, n-не – на А_n1 і отримані рівності додамо:

Коефіцієнт при х₁ дорівнює визначнику ∆, права частина = ∆₁, коефіцієнти при xk (k=2,3,…,n)=0/

Таким чином x_1*∆=∆₁,

Якщо продовжити описаний процес, то отримаємо:

x_j*∆ =∆_j

4. Властивості лінійно залежних векторів

1. Система, яка складається з одного вектора, лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли цей вектор є нульовим.

Доведення: Якщо система, яка скл. з одного вектора , лінійно залежна, то існує таке число , що має місце рівність . Помножимо рівність на одержемо . Навпаки, нехай система складається з одного нульового вектора. Складемо комбінацію . Лінійна комбінація = нульовому вектору, а коефіцієнт

2. Для того, щоб система векторів , , … , була лінійно залежною (ЛЗ), необхідно і достатньо, щоб серед векторів системи хоча б один вектор лінійно виражався через інші вектори системи

Доведення: Необхідність

Дано: , , … , - ЛЗ

Довести:

Доведення: - ЛЗ і хоча б один коефіцієнт . Знайдемо .

= . Введемо позначення

Достатність:

Дано:

Довести: , , … , - ЛЗ

Доведення: Перенесемо в праву частину рівності

Так як серед коефіцієнтів є коефіцієнт , то вектори , , … , - ЛЗ .

3. Якщо система векторів містить лінійно залежну підсистему, то така система векторів є ЛЗ.

Доведення: Дано , , … , - система векторів

, , … , - ЛЗ підсистема векторів

Довести: , , … , - ЛЗ

Доведення. За умовою підсистема векторів є ЛЗ, то Серед є хоча б один, який 0. Складемо лінійну комбінацію заданих векторів системи з тими ж коефіцієнтами а інші коефіцієнти прирівняємо до нуля.

Система ЛЗ, бо серед коефіцієнтів цієї комбінації є хочаб б один, який не дорівнює нулю.

Наслідок. Якщо система векторів містить або нульовий вектор, або рівні вектори, або колінеарні, то така система векторів є ЛЗ.

Доведення: Оскільки за властивістю 1 підсистема, що скл. з нульовог вектора ЛЗ, а також ЛЗ підсистеми, що скл. з двох рівних чи колінеарних векторів, то за властивістю 3 будь-яка система, що містить зазначені підсистеми є ЛЗ.