- •Визначники другого, третього, n–го порядків, їх властивості. Довести 3 властивості визначників.
- •Означення оберненої матриці. Довести теорему (необхідну і достатню умову існування оберненої матриці).
- •Системи n лінійних рівнянь з n невідомими, основні означення. Довести теорему (правило Крамера).
- •4. Властивості лінійно залежних векторів
- •5. Теорема (про розклад вектора за базисом векторної системи)
- •7) Т. Кожна пряма лінія на площині в декартових прямокутних координатах визначається рівнянням першого степеня з двома змінними х і у
- •8 Кут між двома прямими, умова паралельності та перпендикулярності прямих.
- •9.Дослідження рівняння 2-го порядку с двома змінними (еліптичний випадок)
- •10. Дослідження рівняння 2-го порядку з двома змінними (гіперболічний випадок)
- •11. Дослідження рівняння II-го порядку з двома змінними (параболічний випадок).
- •12. Означення границі послідовності. Сформулювати властивості збіжних послідовностей (властивості границі). Довести одну із них.
- •16,Теореми порівняння (довести одну з них)
- •21 Таблиця похідних основних елементарних функцій. Довести (на вибір) три із них.
- •22. Означення монотонних ф. Довести теорему – критерій монотонності ф.
9.Дослідження рівняння 2-го порядку с двома змінними (еліптичний випадок)
- канонічне рівняння еліпса
Симетрія еліпса: Якщо точка М(x;y) належить еліпсу, то:
1.точка М1(х;-у), яка симетрична з точкою М(x;y) відносно осі Ох, також належить еліпсу, таким чином вісь Ох є віссю симетрії еліпса.
2.точка М2(-х;у) симетрична М(x;y) відносно Оу, також належить еліпсу. Отже, вісь Оу – вісь симетрії еліпса.
3.точка М3(-х;-у) симетрична М(x;y) відносно початку координат О, також належить еліпсу. Точка О – центр симетрії еліпса. Центр симетрії еліпса називають центром центром еліпса. Осі симетрії еліпса називають осями еліпса. Вершини еліпса. Точки перетин еліпса з його осями називають вершинами еліпса.
А1(а;0) і А2(-а;0) – вершини, що лежать на осі Ох.
В1(0;b) і В2(0;-b) – вершини на Оу
2а – велика вісь еліпса
2b – мала вісь еліпса
а – велика піввісь еліпса
b – мала піввісь еліпса
Ексцентриситет еліпса. Ексцентриситетом еліпса називають відношення фокусної відстані до довжини великої осі.
Фокуси. F1(-c;0), F2(c;0)
10. Дослідження рівняння 2-го порядку з двома змінними (гіперболічний випадок)
- канонічне рівняння гіперболи
Симетрія гіперболи:
1.Вісь Ох – вісь симетрії гіперболи
2.Вісь Оу – вісь симетрії гіперболи
3.Точка О – точка симетрії гіперболи
Центр симетрії гіперболи називають центром гіперболи.
Осі симетрії гіперболи називають осями гіперболи.
Вершини гіперболи. Точки перетину гіперболи з її осями називають вершинами гіперболи.
А1(а;0) і А2(-а;0) – дійсні вершини гіперболи.
З віссю Оу гіпербола не перетинається, тому В1(0;b) і В2(0;-b) – уявні вершини гіперболи.
2а – дійсна вісь гіперболи
2b – уявна вісь
а – дійсна напіввісь
b – уявна напіввісь
Асимптоти гіперболи. Т: Асимптоти гіперболи, заданої канонічний рівнянням, є прямі і
Ексцентриситет гіперболи – це відношення фокусної відстані до дійсної осі.
Фокуси. F1(-c;0), F2(c;0)
11. Дослідження рівняння II-го порядку з двома змінними (параболічний випадок).
у2 = 2рх – канонічне рівняння параболи. Вісь Ох – вісь симетрії параболи, яка називається віссю параболи. Вершина параболи: точка перетину параболи з її віссю. Парабола має одну вершину О (0;0). Зі збільшенням параметра параболи р збільшується відстань між вітками параболи. Ексцентреситет параболи – це відношення відстані будь-якої точки параболи від фокуса до відстані її від директриси. Е = 1.
12. Означення границі послідовності. Сформулювати властивості збіжних послідовностей (властивості границі). Довести одну із них.
Озн. Число а називається границею послідовності {ап.}, якщо для кожного, як завгодно малого, додатного числа Е>0, існує такий номер N, який залежить від Е (N= N(Е)), що для всіх членів послідовності з номерами п>N виконується нерівність |ап-а|<Е. Якщо послідовність має границю, то вона називається збіжною. Властивості границі: Т.1 Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина. Доведення: Припустимо, що послідовність має 2 границі: xn=a, xn = b, a<>b. a<b; існує r: a<r<b так як lim xn=a, то існує N1, що для всіх п>N1; хп<r та існує N11, що для всіх п>N11, хп>r. Прийшли до протиріччя хп<r та хп>r. Т2. Якщо послідовність має границю, то ця послідовність є обмеженою. Т.3. Якщо послідовність {ап} має границю, що <>0 (lim ап.=А<>0), то всі члени послідовності, починаючи з деякого номеру N мають знак границі А. Т.4. Границя сталої послідовності = цій сталій с = с.
14. Теореми про зв’язок між нм і нв послідовностями: Т.1Якщо послідовність є нв і всі члени послідовності відмінні від нуля,то послідовність обернених величин є нм. Т.2Якщо послідовність є нм і всі члени послідовності відмінні від нуля,то послідовність обернених величин є нв.
15. Арифметичні теореми для збіжних послідовностей: Т.1 Якщо послідовності і збіжні, при чому , то мають місце наступні властивості: 1. 2. 3. при Доведення: . За властивістю про зв'язок нм і послідовності,що мають границю,одержимо : ; ,де і -нм.; ; нм.; ; -нм. Для того,щоб послідовність мала границю необхідно і достатньо,щоб послідовність -нм.