5. Теорема (про розклад вектора за базисом векторної системи)

Т. Кожний вектор системи єдиним чином розкладається за векторами базису заданої системи векторів.

Доведення: Розглянемо систему векторів , ,…, ,… . Нехай , ,…, – базис системи. Візьмемо довільний вектор а системи. Можливі 2 випадки:

1. - вектор базису

= + +…+ +…+

2. - не входить до базису

= (1)

Припустимо, що існує ще один розклад аj за векторами базису ,тобто

= (2)

Віднімемо від рівності (1) рівність(2)

Оскільки , ,…, - Лінійно незалежні, то

7) Т. Кожна пряма лінія на площині в декартових прямокутних координатах визначається рівнянням першого степеня з двома змінними х і у

Ах+Ву+С=0 ( А²+В²>0)

Доведення: Кожна пряма лінія на площині може бути задана за допомогою вектора N=(A;B),перпендикулярного до заданої прямої і точки М(х₀;у₀) через яку проходить пряма. Рівняння такої прямої має вигляд А(х-х₀)+В(у-у₀)=0

Якщо в цьому рівнянні розкрити дужки, то одержимо Ах+Ву-(Ах₀+Ву₀)=0,

чи Ах+Ву+С=0, де С=-(Ах₀+Ву₀).

Коефіцієнти А і В при змінних = відповідним проекціям нормального вектора N на осі координат. Оскільки N<>0, то коефіцієнти рівняння повинні задовольняти умову А²+В²>0.

Дослідження загального рівняння прямої

Ах+Ву+С=0 ( А²+В²>0)

1. А<>0, В<>0, С<>0, то рівняння прямої можна записати у вигляді рівняння прямої у відрізках на осях:

l: x/(-C/A)+y/(-C/B)=1

У цьому випадку l

осі координат у точках (-С/А;0) і (0;-С/В)

2. С=0, то 1: Ах+Ву=0. Пряма проходить через т.О(0;0).

3. В=0, то 1: Ах+С=0, де А<>0, то х=-С/А чи х=а (а=-С/А).

l ∩Oy: відтинає на осі Ох відрізок , що =а.

4. А=0, то l: Ву+С=0, де В<>0. Отже, у=-С/В чи у =в (в=-С/В)

l ∩ Oх і відтинає на осі Oy відрізок,

що = в.

5А=С=0 (В<>0);

l: Ву=0

у=0

Рівняння співпадає з віссю Ох

6. В=С=0(А<>0)

l:Ах=0

х=0

Рівняння співпадає з віссю Оу

Зауваження: Ах+Ву+С=0 запишемо це рівняння з кутовим коефіцієнтом у=кх+в,

де к=-А/В; в=С/В.

8 Кут між двома прямими, умова паралельності та перпендикулярності прямих.

Означення. Кутом між двома прямими називається найменший додатний кут, на який потрібно повернути одну з прямих (проти обертання годинникової стрілки) до суміщення з іншою прямою. Очевидно, кут між двома прямими змінюються в межах 0≤ ≤π . Дві прямі на координатній площині утворюють кути, один з яких дорівнює , а інший (180 ˚ - ). Оскільки за формулами зведення

cos (180˚- )=-cos , то для того, щоб знайти кут між двома прямими, потрібно знайти cos .

Теорема. ( умови перпендикулярності двох прямих). Для того, щоб дві прямі на координатній площині були перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність:

1. А₁А₂ +В₁В₂=0

2. m₁m₂+n₁n₂=0

3. k₁=-

( відповідно до того, як задано напрямок прямих l₁ і l₂ на координатній площині).

Теорема. ( умови паралельності двох прямих ). Для того, щоб дві прямі на координатній площині були паралельні, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність:

1. =

2. =

3. k₁= k₂

(Відповідно до того, як задано напрямок прямих l₁ і l₂ ).