4. Введение в математический анализ.

1.

Величина, которая принимает различные числовые значения в некотором процессе, называется переменной, а которая сохраняет своё значение – постоянной.

В различных процессах одни и те же величины могут быть постоянными и переменными. Величины, сохраняющие своё значение в любом процессе, называются абсолютными константами.

Множество – это совокупность объектов произвольной природы.

Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Если элемент х принадлежит множеству, то пишут . Пустое множество обозначают Ø.

Отрезок – множество чисел, удовлетворяющих неравенству: или [a;b].

Интервал – множество чисел, удовлетворяющих неравенству: a<x<b или (a;b) или .

Полуинтервал – множество чисел, удовлетворяющих соотношениям:

1. или

2. или

Модулем числа называется само это число, если оно положительное или равное 0 и число с противоположным знаком, если оно отрицательное, т.е.

Геометрически – это расстояние от начала координат до точки, изображающей число на числовой оси. Свойства модулей:

1. - модуль суммы не больше суммы модулей

2. - модуль разности не меньше разности модулей

3. - модуль произведения равен произведению модулей

4. - модуль частного равен частному модулей

2.

Две переменные называются независимыми, если значения, принимаемые одной из них не зависят от значений принимаемых другой.

Если каждому значению по некоторому правилу или закону соответствует одно значение переменной , то переменную у называют функцией переменной величины х.

Областью определения функции называется множество всех допустимых значений аргумента х, т.е. тех значений, при которых функция у существует, не теряя смысл.

Множество всех значений у называется областью значений функции. Функция задана аналитически, если задана формула, позволяющая отыскать значения функции непосредственным вычислением или с помощью таблиц, употребляемых в элементарной математике.

Аналитический способ – основной для математического анализа. Кроме него существуют табличный способ (с помощью таблиц) и графический способ (с помощью графиков).

Графиком функции называется совокупность всех точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента, взятые из области существования функции, а ординаты, соответствующие этим значениям аргумента, - значения функции.

Функция называется четной, если при замене знака аргумента на противоположный, она не меняет своего значения, т.е. имеет место равенство .

Функция называется нечетной, если для каждого значения аргумента х имеет равенство .

Символы:

1. Запись означает «из α следует β».

2. это означает «из α следует β, а из β следует α».

3. -квантор всеобщности означает «для любого».

4. -квантор существования означает «существует».

Запись означает «для всякого х, принадлежащего множеству М, существует элемент α».

5. : этот квантор означает «имеет место» или «справедливо».

Запись означает «для всякого х, принадлежащего множеству М, имеет место предложение α».

4.

Числовой последовательностью называется множество значений функции f(n), определенной на множестве натуральных чисел. Последовательность считается заданной, если дан способ вычисления любого ее члена по его известному номеру.

Если каждый последующий член последовательности больше предыдущего, т.е. , то последовательность называется возрастающей.Если каждый последующий член меньше предыдущего, т.е. , то последовательность называется убывающей. Если , то последовательность неубывающая, а при - невозрастающая. Последовательность возрастающая или убывающая называется монотонной.

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое действительное число М, что для всех членов последовательности выполняется неравенство , т.е. с помощью кванторов это можно записать: последовательность называется ограниченной сверху, если: , что для .

Последовательность, ограниченная сверху или снизу называется ограниченной. Последовательность неограниченная сверху или снизу называется неограниченной.

5.

Постоянное число А называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного ξ существует такой номер члена последовательности N(ξ), зависящий от ξ,начиная с которого всегда выполняется неравенство .

Можно проиллюстрировать графически на числовой оси.

Члены последовательности в процессе своего изменения приближаются к числу А. Если найдется такой номер, начиная с которого все члены последовательности окажутся в ξ –окрестности числа А, т.к. только в ней выполняется везде неравенство , то А будет пределом последовательности, если же такого номера не найдется, то А пределом не будет. Члены последовательности могут приближаться к числу А с любой стороны. Точка А называется предельной точкой последовательности или точкой сгущения. Она может принадлежать или не принадлежать последовательности. Если последовательность имеет предел, то ее называют сходящейся, или говорят что она сходится к числу А, в противном случае – расходящейся.

6.

1.(О единственности предела) Если последовательность имеет предел, то он единственный.

1)

2)

1) и 2) должны выполнятся для любого ξ, что невозможно для .

2.(Необходимое условие…) Если последовательность имеет предел, то она ограничена (обратное неверно).

, ξ=1, , , ,

1+А=М

3.(Критерий сходимости) Ограниченная монотонная последовательность всегда имеет конечный предел, т.е. является сходящейся.

4.Пусть последовательность и имеют один и тот же предел А и для всех членов последовательности справедливо неравенство , тогда последовательность имеет такой же предел А.

7.

Последовательность называется бесконечно малой, если пределом ее является 0: , . Любая константа катого числа, как бы мало оно не было, не является бесконечно малой, т.к. по определению это переменная величина. Исключение 0.

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого на перед заданного числа Е>0 (как бы велико оно не было) всегда выполняется следующее соотношение: .

8.

1.Если функция может быть представлена в виде суммы числа А и бесконечно малой α, т.е. f(x)=A+α, то

. Верно и обратное.

2.Предел алгебраической суммы конечного числа функций, имеющих конечное пределы, равен алгебраической сумме пределов. Если , а , то 3.Предел произведения конечного числа функций, каждая из которых имеет конечный предел, равен произведению пределов. Если , а , то

Следствия : 1.Предел постоянной равен самой постоянной

2.Постоянный множитель можно выносить за знак предела .

4.Предел частного двух функций, имеющих конечные пределы, причем предел функции, стоящей в знаменателе, отличен от 0, равен частному пределов Если , а , то

5.Если для функций f(x) и φ(x), имеющих конечные пределы, начиная с некоторого значения аргумента выполняется соотношение: или [ ].

6.Если из трех функций f(x), φ(x) и z(x) две f(x) и z(x) имеют один и тот же предел А, т.е. , и, начиная с некоторого значения аргумента, выполняется соотношение: , то .

7.Если при ( ) функция f(x) принимает неотрицательные значения , и при этом стремится к переходу В, то В есть неотрицательное число.

9 . Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого сколь угодно малого положительного Е>0 существует такое , что для всех х, удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство .

Геометрическая иллюстрация:

5.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

№1.ПРОИЗВОДНой функции y=f(x) называется предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю. /dx .Механический смысл производной: численное значение первой производной в некоторой точке даёт мгновенную скорость в этот момент.

ГЕОМ. Смысл: численное значение некоторой производной = тангенсу угла наклона касательной с положит. направлением оси.

№2. ОСНОВНЫЕ теоремы о производных : 1) ;2)постоянный множитель можно выносить за знак производной 3)производная алгеброич. суммы конечн. числа ф-ий каждая из которых имеет конеч. производную = алгеб. сумме этих произ.

№3 ПРОИЗВОДНАЯ степенной ф-ии : вывод: ; ;lim ( ), -за скобки, =lim( =

№4 ПРОИЗВОДНАЯ показат, и логорифм ф-ии: ,вывод , делим на , , сокращ и остаётся

№5 ПРОИЗВОДНАЯ sin и cos : ( , ; ; делим на .lim, т.к , получаем cos x.

№6 ПРОИЗВОДНАЯ tg и ctg : , ,вывод tg : (tg)’=(sinx/cosx)’ =

№7 ПРОИЗВОДНАЯ сложной ф-ии : правило дифиренц слож ф-ии : если существует произв-ая от ф-ии f по переменной U а так же сущ-ет произв-ая ,то существует производ от сложной ф-ии которая вычисл-ся по формуле (ПРОИЗВОДНАЯ сложной ф-ии = произв-ию производных от ф-ий её составляющих.

№8 ОБРАТНАЯ ф-ия и её производная ( производные от взаимообратных ф-ий обратны по величине):пусть для ф-ии у =f(x) существует и пусть y=f(x) возрастает на АВ и непрерывна на нём , а так же имеет конечную производную ,то сущ-ет произв обратной ф-ии ,которая вычисляется по формуле .

№9 ПРОИЗВОДНЫЕ от arccos и arcsin :

, x=siny, =1/

№10 ПРОИЗВОДНАЯ от ф-ий заданных неявно и параметрически : дифир-ие неявных ф-ий производится по той же таблице , что и яв. учитывая что произв от у находится по правилу дифиренцырования. F(x;y)=0-неяв, , 2x+2y ; ПРОИЗВОДНАЯ от ф-ий заданных параметрически

; .ЛОГОРИФМИЧЕСКОЕ произведение: ,где U и непрерывны. При нахождении производных такого вида примен метод логориф-ого диференцир-ия : логориф-ем по любому основанию а потом диференц-ем.

№11 ПРОИЗВОДНЫЕ высших порядков: т.к произв 1-ого порядка представл собой ф-ию

зависящую от Х то её можно диференцир-ть дальше , ;

x=x(t),y=y(t), ;

№12 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕф-ии: Ф-ия y=f(x) назыв дифференцир-ой в точке Х, если её приращение можно представить в веде (1) Где -беск малое

А-постоянная. Теорема : для того что бы ф-ия y=f(x) дифференцир-ой в точке Х необход и достаточно что бы у неё в этой точке сущест-ла конечная производная. Необход: пусть y=f(x) дифференцир-ет в точке , тогда эта ф-ия имеет в этой точке произв , (1) делим на ,переходим к пределу( ) =А= .достаточность:

(необход наоборот), (1)= =

№13 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ф-ии: дифференциалом ф-ии в некоторой точке ф-ии называется главная часть преращения ф-ии(к-ая линейна относит преращ аргумента)

(по той же табл производных); геом смысл: это есть приращение ординаты к касательной;

№14 нету такого!№15 , . значение ф-ии в т.Х + значение дифференциала в этой точке. Вычисл: 1)ввести ф-ию( ); 2)ввести ( ) ;3)f( ); 4)деференц ; 5) 6)из 3) -5)

(переводим в радианы)

№16 ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ и т.д.: РОЛЛЯ: если ф-ия y=f(x) определена и непрерывна на если ф-ия y=f(x) определена и непрерывна на[a,b] и принимает на концах отрезка одинаковые значения f(a)=f(b) то на этом отрезке найдётся хотя бы одна точка С в которой производная =0.ЛАГРАНЖА: если ф-ия y=f(x) непрерывна на [a,b] то есть т.С в к-ой справедливо след равенство .КАШИ: пусть ф-ии f(x) и непрерывны на [a,b] и дефференц на интервале при чём во всех точках то внутри [a,b] есть т.С в которой справедливо след рав-во ;

ЛОПИТАЛЬ: пусть ф-ии f(x) и непрерывны на [a,b] и дефференц на интервале и имеют конечн производные при чём ,и ,то если существует предел отношения произв этих ф-ий то сущ. и предел отношений самих ф-ий и они равны.

№17 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ высших порядков : дифференциалом n-ого порядка назыв дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка как ф-ии х:

6.ПРИМЕНЕНИЕ….

№1УСЛОВИЕ возрас и убыв ф-ии на интервале…: необход УСЛОВИЕ возрас и убыв ф-ии на интервале : если f(x) дифференц на каком-то интервале и возрас(убыв) на нём то её производная не отрицат(не положитель) (достаточ – наоборот) . точка назыв точкой max(min) ф-ии если для всех точек из окресности выполняется

max, min-точки экстремума. необход: если ф-ия y=f(x) непрерыв и деферен в окресности и в имеет экстремум то её производная в этой точке = 0 или не существ. Достаточн:

если ф-ия y=f(x) непрерыв и деферен в окресности и пусть -точка 1-ого рода(произ =0 или не существ) ,тогда если при переходе с лево на право производная меняет знак с + на – то в ф-ия имеет max(min если с- на+). Достаточн2: если ф-ия y=f(x) непрерыв и2 раза деферен в и пусть -точка является критич точкой 1-ого рода тогда если вторая производная в <0 то в max( >0 то min).

№2 ВЫПУКЛОСТЬ И вогнутость(точки перегиба): кривая назыв выпуклой на отрезке если все её точки располож ниже точек любой касательной проведённой к ней на данном промежут.( кривая назыв вогнутой если выше).точка перегиба -точка отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

№3АССИМПТОТЫ ГРАФИКА Ф-ИЙ: Асимптота- прямая к которой стремиться график ф-ий но никогда её не пересекает,прямая х=х0 назыв вертикальной асимптотой граф ф-ии

f(x)=y если при ; y=kx+b y=f(x)-общее ур-ие наклон асимптоты.

№4 СХЕМА исследования : 1)обл-ть определения ф-ии 2)точки разрыва и интер-лы где ф-ия непрерывна 3)поведение ф-ии в окресностях точки разрыва 4) т. Пересечения с осями 5) симметр графика(чёт. Нечёт) 6)периодич 7)интерв-лы монотон-ти 8)т.экстремума 9)max min 10)выпук вогн 11)точки перегиба 12)нанесение на график