III Элементы аналитической геометрии

1. Расстояние между двумя точками на плоскости равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноимённых координат. Пусть А(x₁;y₁) и B(x₂;y₂). AB²=AD²+BD²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)². AB=√(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²

Деление отрезка в данном отношении. Пусть А(x₁;y₁) и B(x₂;y₂) концы отрезка АВ, С(x;y) делит отрезок в отношении λ. Т.к. АС/СВ=А₁С₁/С₁В₁=λ, то (x – x₁)/(x₂ – x)=λ; (y – y₁)/(y₂ – y)=λ. Отсюда x = (x₁ + λ∙ x₂)/1+λ; x = (y₁ + λ∙ y₂)/1+λ.

2. Уравнение вида F(x;y)=0 называется уравнением линии в данной системе, если ему удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты точек не лежащих на ней. Общее уравнение прямой: AX + BY + C = 0. Уравнение прямой, проходящей ч\з две точки: (x – x₁)/(x₂ – x₁) = (y – y₁)/(y₂ – y₁). M (x₁;y₁) и M (x₂;y₂) – точки ч\з которые проходит прямая. Уравнение прямой в отрезках: x/a + y/b = 1, где a и b – отрезки на осях OX и OY. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b, где k – угловой коэффициент, b – отрезок на OY. Уравнение прямой, проходящей ч\з точку с заданным угл. коэф.: Y – Y₀ = K (X – X₀), где (X₀;Y₀) – координаты точки. Нормальное уравнение прямой: x ∙ cosα + y ∙ sinα – p = 0, где p – длина перпендикуляра, опущенного из нач корд, на прямую; α – угол перпендикуляра с осью OX.. Чтобы общее уравнение прямой привести к нормальному виду, нужно умножить все члены уравнения на нормирующий множитель: μ=±1/√(А²+В²).

3. Расстоянием (d) точки М₀ до прямой L называется длина перпендикуляра MD, опущенного из точки М₀ на прямую L. Отклонением (δ) точки М от прямой L называется расстояние этой точки до прямой, взятое со знаком «+», если точка М и начало координат расположены по разные стороны от прямой L и со знаком «-», если точка М и начало координат расположены по одну сторону от прямой. Вычисление: M (x₀;y₀). δ = x₀∙ cosα + y₀ ∙ sinα – p; d = |δ| = |x₀∙ cosα + y₀ ∙ sinα – p|;

4. За угол между двумя прямыми (I) и (II) принимается наименьший положительный угол, на который нужно повернуть (I) прямую до совмещения со (II) против часовой стрелки. Если известны уравнения прямых с угловыми коэффициентами: (I) y = K₁x + b₁; (II) y = K₂x + b₂, то угол вычисляется tg φ =(K₂ – K₁)/(1 + K₁∙ K₂). Условие ||: (K₂ – K₁)/(1 + K₁∙ K₂) = 0 → К₁=К₂. Условие ┴: 1 + K₁∙ K₂ = 0 → K₁∙ K₂ = -1 или К₁=-1/К₂. Если имеются общие уравнения прямых: A₁X + B₁Y + C = 0; A₂X + B₂Y + C = 0, то угол вычисляется: Условие ||: А₁/А₂=В₁/В₂. Условие ┴: А₁∙А₂+В₁∙В₂=0.

5. Уравнение плоскости, проходящей через точку: , где - вектор, перпендикулярный плоскости и идущий из начала координат; M (x,y,z) и M₀ (x₀,y₀,z₀) – точки на плоскости. Общее уравнение плоскости: раскроем скобки в предыдущем Ax + By + Cz + (-Ax₀ – By₀ – Cz₀)=0, обозначим (-Ax₀ – By₀ – Cz₀)=D, тогда Ax + By + Cz +D = 0. Уравнение плоскости в отрезках: x/a + y/b + z/c =1, где a,b,c – отрезки, осекаемые на осях OX,OY,OZ. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки: Есть точки M₁, М₂, М₃. И если взять произвольную точку плоскости М, то она только тогда будет принадлежать искомой плоскости, если три вектора М₁М₂, М₁М, М₁М₃ компланарны, а следовательно их смешанное произведение равно нулю: Нормальное уравнение плоскости в пространстве: x cosα + y cosβ + z cosγ – p = 0. Чтобы общее уравнение привести к нормальному виду, нужно все члены умножить на нормирующий множитель: μ=±1/√А²+В²+С².