II Элементы векторной алгебры

1. Вектором называется направленный отрезок. Число, равное длине вектора, называется его модулем. Векторы ā и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы ā и b называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Вектор называется единичным (ē), если длина его равна 1, а направление совпадает с направлением данного вектора. Сложение векторов. Суммой двух векторов ā и b называется третий вектор č, соединяющий начало вектора ā с концом вектора b, при условии, что начало вектора b помещено в конец вектора ā (правило треугольника). Если векторы ā и b привести к общему началу и построить на векторах ā и b параллелограмм, то диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала, называется суммой векторов ā и b (правило параллелограмма). Правило многоугольника: если векторы расположить так, что начало каждого следующего вектора поместить в конец предыдущего, то суммой нескольких векторов называется вектор, соединяющий начало самого первого вектора с концом последнего. Правило параллелепипеда: сумма трёх некомпланарных векторов, приведённых к общему началу, равна диагонали параллелепипеда, построенного на этих векторах, выходящей из общего начала.

Вычитание. Разностью двух векторов ā и b называется третий вектор č, который в сумме с вектором b даёт вектор ā. Разность векторов – вектор, проведённый из конца вычитаемого в конец уменьшаемого. Свойства суммы и разности: 1) коммутативный (переместительный) - ā + b = b + ā; 2) ассоциативный (сочетательный) – (ā + b) + č = ā + (b + č); 3) для любого вектора ā существует нулевой вектор ō такой, что ā + ō = ā; 4) для каждого вектора ā существует вектор – ā такой, что ā + (-ā) = 0, вектор –ā называется противоположным вектору ā.

Умножение вектора на число. Произведением вектора ā на число α называется вектор b, коллинеарный вектору ā , длина которого |b|=|α|∙|ā|, а направление совпадает с вектором ā, если α>0, и противоположное, если α<0. Свойства: 1) распределительный – α(ā + b)=α ā +αb; 2) сочетательный; 3) коммутативный.

2. Проекцией вектора |ĀB| на ось Ŝ называется длина отрезка А₁В₁, взятая со знаком «+», если направление его совпадает с направлением оси Ŝ и со знаком «-», если направление А₁В₁ противоположно направлению оси. Проекция вектора на ось пр_ŜĀB равна произведению его модуля на косинус угла φ, который вектор образует с осью. При этом углом φ между вектором и осью называется угол, на который нужно повернуть ось до совмещения с вектором против хода часовой стрелки. Проекции вектора на оси координат называются его координатами. В этом заключается их геометрический смысл. Вектор называется нулевым, если совпадают координаты его начальной и конечной точек. Косинусы углов, которые вектор образует с осями координат, называются направляющими косинусами вектора. Св-во: cos²α + cos₂β + cos²γ = 1.

3. Система векторов а₁, а₂, а₃, ..., а_n называется линейно независимой, если линейная комбинация α а₁ + α₂ а₂ + α₃ а₃ + ... + α_n а_n = 0 при условии, что все α_i = 0. Если линейная комбинация α а₁ + α₂ а₂ + α₃ а₃ + ... + α_n а_n = 0 при условии, что хотя бы одно из чисел α_i ≠ 0, то система векторов называется линейно зависимой. Система n линейно независимых векторов в n – мерном пространстве называется базисом этого пространства. Разложить вектор по векторам базиса – это представить его в виде линейной комбинации векторов этого базиса. Если в качестве базиса в трёхмерном пространстве взять единичные векторы i, j, k, направленные по координатным осям OX, OY, OZ, то этот базис называется ортонормированным.

4. , , ,

Если векторы коллинеарны, то соответствующие координаты их пропорциональны.

5. Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию на него же второго вектора. Свойства: 1) коммутативный или переместительный, 2) ассоциативный или сочетательный, 3) дистрибутивный или распределительный, 4) ā∙ā=|ā|², 5) ā∙b=0, если ā┴b.

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство : x₁∙x₂+y₁∙y₂+z₁∙z₂=0. Угол между векторами вычисляется по формуле:

6. Векторным произведением векторов ā и b называется вектор č, который удовлетворяет трём условиям: 1) он перпендикулярен к перемножаемым векторам; 2) его модуль равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними; 3) направлен он таким образом, что если посмотреть из его конца, то кратчайший поворот первого перемножаемого вектора ко второму должен быть виден против хода часовой стрелки.

Геометрический смысл: модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на составляющих, т.е. . Т.к. , то

Свойства: 1) векторное произведение равно нулю, если векторы коллинеарны или один из них равен нулю; 2) векторное произведение не коммутативно, т.е. нельзя менять местами множители; 3) сочетательный закон относительно числового множителя (α ∙ ā) × b = α (ā × b) = ā × (α ∙ b); 4) распределительный закон относительно суммы и произведения (а+b)×c=a×c+b×c.

Векторное произведение векторов, заданных координатами, равно определителю третьего порядка, первой строкой которого являются единичные векторы I, j, k, второй – координаты первого вектора, третьей – координаты второго вектора. 7. Смешанным произведением векторов называется число, полученное в результате векторного произведения двух векторов, скалярно умноженного на третий. .

Геометрический смысл: Смешанное произведение представляет собой число, абсолютная величина которого равна объёму параллелепипеда, построенного на векторах ā, b, č как на составляющих, т.е.

Свойства: 1) Смешанное произведение равно нулю, если векторы ā, b, č – компланарны, один из них нулевой или какие-либо два из них коллинеарные. 2) где скалярное произведение можно переставлять сомножители, где векторное – нельзя.

В координатах: смешанное произведение вычисляется с помощью определителя третьего порядка, строками которого являются координаты перемножаемых векторов.

Если смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны.