3.27 Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события

Пусть по достаточно большому числу п незави­симых испытаний; в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, но неизвестна, найдена относительная частота т/п. Пусть имеются основания предполагать, что неизвестная вероятность равна гипоте­тическому значению р0. Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что неизвестная вероятность р равна гипотетиче­ской вероятности р0.

Поскольку вероятность оценивается по относительной частоте, рассматриваемую задачу можно сформулировать и так: требуется установить, значимо или незначимо раз­личаются наблюдаемая относительная частота и гипоте­тическая вероятность.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при­мем случайную величину

где

Величина V при справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно нормально с параметрами .

Пояснение. Доказано (теорема Лапласа), что при достаточно больших значениях n относительная частота имеет приближенно нормальное распределение с матема­тическим ожиданием р и средним квадратическим откло­нением /n. Нормируя относительную частоту (вычи­тая математическое ожидание и деля на среднее квад­ратическое отклонение), получим

'причем М(U) = 0, .

При справедливости нулевой гипотезы, т. е. при р = р0,

Замечание1: Далее набл-мая частота обозн-ся ч/з М/п

правила проверки нулевой гипотезы:

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости проверить нулевую гипотезу H0:р = р0 о равен­стве неизвестной вероятности гипотетической вероятности при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку ыкр по равенству .

Если |Uнабл|<uкр—нет оснований отвергнуть нуле­вую гипотезу

Если | Uнабл 1>uкр—нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе H1:р>р0 находят критическую точку правосторонней критической области по равенству Ф(uкр) = (1—2а)/2.

Если |Uнабл|<uкр —нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если|Uнабл|>uкр —нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе H1:р < р0 находят критическую точку uкр по правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области

Uкр =-uкр

Если|Uнабл|<uкр —нет оснований отвергнуть нуле­вую гипотезу.

Если |Uнабл|>uкр —нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 2. Удовлетворительные результаты обеспечивает выполнение неравенства np0q0>9

3.28 Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта

Пусть генеральные совокупности Х1г Х2, .... распределены нормально Из этих совокупностей извле­чены независимые выборки, вообще говоря, различных объемов п1, п2, … . По выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии .

Требуется по исправленным выборочным дисперсиям при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:Н0=D(X1)=D(X2)=D(Xi).

Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленные выборочные дисперсии. Рассматриваемую здесь гипотезу о равенстве несколь­ких дисперсий называют гипотезой об однородности дисперсий. Заметим, что числом степеней свободы дисперсии на­зывают число , т. е. число, на единицу мень­шее объема выборки по которой вычислена дисперсия.

Обозначим через среднюю арифметическую исправ­ленных дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы: , где .

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы об однородности дисперсий примем критерий Бартлетта — случайную величину: В = V/С. Бартлетт установил, что случайная величина В при условии справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно как с l—1 степенями свободы, если все кi > 2. Учитывая, что ki=ni-l, заключаем, что ni- 1 > 2, или пi > 3, т. е. объем каждой из выборок должен быть не меньше 4.