2,25 Условные знаки распределения составляющих X,y непрерывной двумерной св.Условные плотности распределения вероятностей

Условной плотностью фи(x/y) распределения составляющих X при данном значении Y=y называют отношение плотности совметного распределения f(x,y) системы (X,Y) к плотности распределения f2(y) составляющей Y: фи(x/y) = f(x,y)/f2(y). Подчеркнём, что отличие условной плотности фи(x/y) состоит в том,что фун-ия фи(x/y) даёт распределение X при условии,что составляющая Y приняла значение Y=y,фун-ия же f1(x) дает распределение X независимо от того,какие из возможных значений приняла составляющая Y.

Аналогично определяется условная плотность составляющей Y при данном значении X-x :

фи (y/x) = f(x,y)/f1(x).

Если известна плотность совместного распределения f(x,y),то условные плотности составляющих могут быть найдены по формулам:

Фи(x/y) = f(x,y)/∫ f(x,y)dx, фи(y/x) = f(x,y)/∫f(x,y)dy

Отсюда заключаем: умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон распределения другой составляющей,найдем закон распределения системы СВ.

2.26Условное мат. Ожидание составляющих X и y двумерной св ,ф-ии регрессии

Условным мат.ожиданием двумерной случ.величины Yпри X =х (х-определенное возможное знач.Х) наз-т произведение возможных значений Y на их условные вероятности : M(Y/X=x) = ∑^m_i=1 y p(y/x). Для непрерывных величин : M(Y/X = x) = ∫ y фи(y/x)dy , где фи(y/x) – условная плотность СВ Y при X= x.

Условное мат.ожидание M(Y/x) есть фун-ия от х : M(Y/x) = f(x),которую называют фун-ей регрессии Y на X ..

Аналогично определяется условное мат.ожидание СВ Х и фун-ия регрессии Х на Y :

M(X/y)=фи(y).

2,27 Зависимые и независимые св.Корреляционный момент.Коэффициент корреляции

Мы называли две величины СВ независимыми,если закон распределения одной из них не зависит от того,какие возможные значения приняла другая величина

Теорема:Для того чтобы СВ X Y были независимыми,необходимо и достаточно,чтобы функция распределения системы (X,Y) была равна произведению функций распределения составлюющих: F(x,y)=F1(X) F2(Y). Док-во: Пусть X Y независимы.Тогда события Х<x и Y<y независимы,следовательно,вероятность совмещения этих равна произведению их вероятностей: P(X<x,Y<y) = P(X<x) P (Y<y) , т.е вероятность совмещения событий Х<x Y<y равна произведению вероятностей этих событий.Следоваельно,СВ X Y независимы

Следствие. Для того чтобы непрерывные СВ X Y были независимы,необходимо и достаточно,чтобы плотность совместного распределения системы (X,Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих : f(x,y)=f1(x)f2(y)

Корреляционный момент служит для хар-ки связи м/у величинами X,Y .Корреляционный момент равен нули,если X,Y независимы, следовательно,если корреляционный момент не равен нули,то X,Y – зависимые СВ

Теорема1. Корреляционный момент двух неизвестных СВ X,Y равен нули

Коэффициент корреляции rxy СВ X,Y наз-т отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин

Торема2. Абсолютная величина корреляционного момента двух СВ X,Y не превышает среднего геометрического их дисперсий

Теорема3 .Абсолютная величина коэффициенты корреляции не превышает единицы