5.3. Система рівнянь Максвелла

Відкриття струму зміщення дало змогу Максвеллу в 1860—1866рр. розробити єдину теорію електричних і магнітних явищ – теорію електромагнітного поля. Ця теорія пояснила всі відомі на той час експериментальні факти і передбачила коло нових явищ, факт існування яких підтвердився в подальшому.

Основним висновком теорії Максвелла був висновок про існування електромагнітних хвиль, що поширюються зі швидкістю світла. Теоретичне дослідження цих хвиль привело Максвелла до створення електромагнітної теорії світла.

Основою теорії є система рівнянь Максвелла. У вченні про електромагнетизм ці рівняння відіграють таку саму важливу роль, як закони Ньютона в механіці або основні закони в термодинаміці.

В інтегральній формі система рівнянь Максвелла записується так:

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

У рівнянні (5.4) – потік вектора електричного зміщення через поверхню S, що стягує замкнений контур L; у рівнянні (5.5) Ф_m – аналогічний потік вектора магнітної індукції магнітного поля; у рівнянні (5.7) q – сумарний електричний заряд у об’ємі V, охопленому замкненою поверхнею S.

До цих чотирьох рівнянь Максвелла слід додати співвідношення, за допомогою яких вводять характеристики середовищ:

(5.8)

(5.9)

(5.10)

Отже, повна система рівнянь, яка описує електричні і магнітні поля в середовищах, що перебувають у спокої, складається з чотирьох рівнянь (5.4)—(5.7), які називають рівняннями електромагнітного поля, а також системи співвідношень (5.8)—(5.10), які називають матеріальними рівняннями.

Рівняння (5.4) виражає закон, за яким магнітне поле породжується струмами провідності і зміщення, які є двома можливими джерелами магнітного поля.

Рівняння (5.5) виражає закон електромагнітної індукції і вказує на магнітне поле, що змінюється, як на одне з можливих джерел породження вихрового електричного поля.

Рівняння (5.6) відображає експериментальний факт відсутності в природі магнітних зарядів.

Рівняння (5.7) є узагальненням на основі теореми Гаусса закону Кулона і фізично вказує на існування в природі джерел електричного поля у вигляді електричних зарядів, розподілених у просторі з об’ємною густиною ρ.

Система рівнянь Максвелла дає можливість розв’язати будь-яку конкретну задачу макроскопічної електродинаміки.

Із рівнянь (5.4) і (5.5) випливає, що електричне і магнітне поля не можна вважати незалежними: зміна в часі одного з них викликає появу іншого. Тому має смисл лише сукупність цих полів, яка описує єдине електромагнітне поле.

Якщо ж поля стаціонарні ( = const і =const), то рівняння Максвелла (5.4)—(5.7) набирають вигляду

.

У цьому випадку електричне і магнітне поля є незалежними одне від одного, що і дає можливість вивчати спочатку постійне електричне поле, а потім незалежно від нього і постійне магнітне поле.

Застосувавши до рівнянь (5.4) і (5.5) теорему Стокса щодо будь-якого вектора а до рівнянь (5.6) і (5.7) теорему Остроградського—Гаусса за довільного вибору площ та об’ємів, по яких беруться інтеграли, отримаємо систему рівнянь Максвелла у диференціальній формі:

(5.11)

(5.12)

(5.13)

(5.14)

Спроектувавши рівняння (5.11) та (5.12) на координатні осі, отримаємо замість кожного із векторних рівнянь три скалярних:

(5.15)

(5.16)

Рівняння (5.13) і (5.14) можна записати в скалярній формі

(5.17)

(5.18)

Ввівши векторний диференціальний оператор („набла”), який у декартових координатах має вигляд

де — орти осей x,y,z рівняння (5.11)—(5.14) можна записати так:

(5.19)

(5.20)

(5.21)

(5.22)

Введення оператора суттєво спрощує запис багатьох формул і математичних дій з ними, чим скористаємось в подальшому.