Разобьем треугольник на элементарные полоски, параллельные его основанию. Площадь такой полоски .

Тогда момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через основание

Круг и полукруг диаметра d. Подсчитываем сначала полярный момент инерции круга. Для этого выделим в сечении окружностями радиуса ρ и ρ+dρ элементарное кольцо площадью dF=2πρdρ и вычислим Iy по формуле:

Обычно размеры круглого сечения выражают через диаметр d и подсчитывают Ip по формуле .

Осевые моменты инерции круга найдем с помощью соотношения. Замечая, что в силу симметрии круга Iz=Iy, получаем для осевых моментов инерции круга выражение

20. Порядок вычисления моментов инерции сложных фигур. Главные оси и главные моменты инерции.

Всякую сложную фигуру обычно можно разбить на ряд простейших фигур, моменты инерций которых относительно их центральных осей известны. Применив формулы переноса осей инерции, можно определить момент инерции сложной фигуры, алгебраически суммируя моменты инерции простых фигур относительно общей оси - центральной оси сложной фигуры.

Например, осевой момент инерции толстостенного кольца с внешним диаметром D и внутренним d относительно любе центральной оси может быть найден как разность моментов инерции большого и малого кругов:

где α = d/D - коэффициент полости.

Полярный момент инерции кольца находится аналогично:

21. Напряжения при кручении цилиндрического бруса круглого сечения.

Под действием внешнего скручивающего момента, приложенного на правом конце вала, левый конец которого жестко закреплен, стержень будет закручиваться. При этом любое сечение стержня, оставаясь плоским, будет поворачиваться на некоторый угол φк, называемый углом закручивания. Этот угол изменяется по длине вала от нуля в заделке до максимального на правом конце вала. При этом образующая внешней цилиндрической поверхности вала повернется на угол γ, называемый углом сдвига. Этот угол изменяется вдоль радиуса сечения от нуля на оси вала до - γmax на внешней поверхности. Опыт показывает, что после закручивания бруса круглого сечения поперечные линии, нанесенные на его поверхности, остаются плоскими, а диаметры сечений и расстояния между ними не изменяются. При этом прямоугольная сетка превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечных сечениях бруса, а по закону парности касательных напряжений – и в продольных его сечениях, то есть напряженное состояние в точках скручиваемого стержня представляет собой чистый сдвиг. На основании опыта вводятся следующие гипотезы:

- Нормальные напряжения в поперечных сечениях отсутствуют (иначе изменялись бы расстояния между сечениями).

- Поперечные сечения при кручении остаются плоскими.

- Радиусы в поперечных сечениях остаются прямолинейными (не искривляются).

При чистом кручении все внутренние силы, распределенные по поперечному сечению, приводятся к одной составляющей – крутящему моменту относительно нормальной к сечению оси. Касательные напряжения перпендикулярны радиусам, проведенным через точки их действия.