2.5 Розв'язок обернених геодезичних задач для орієнтування знімальної мережі

Пряма геодезична задача. Якщо відомі координати вихідної точки А(Х_А, Y_A), дирекційний кут лінії АВ (α_АВ) та довжина лінії d_АВ (рис.2.6), то можна обчислити координати кінцевої точки В за формулами:

(2.17)

Прирости координат х та Dу згідно рис. 2.7 визначаються за формулами:

(2.18)

Рис.2.5.1 - Геометрична схема прямої та оберненої геодезичних задач

Об’єднавши формулами 2.17; 2.18 отримаємо:

Х_В = Х_А + d_АВcosα_АВ

Y_В = Y_А + d_АВsinα_АВ (2.19)

Обернена геодезична задача. При проектуванні та розмічуванні інженерних споруд на місцевості виникає задача визначення довжини лінії d_АВ та дирекційного кута α_АВ за відомими координатами кінцевих точок (Х_А, Y_А; Х_В, Y_В). Шукані величини визначаються із прямокутного трикутника АВС (рис. 2.5.1) за формулами:

а) румб лінії:

, (2.20)

або . (2.21)

б) довжина лінії:

; (2.22)

Окрім того, із рис. 2.6 за теоремою Піфагора визначимо:

. (2.23)

Контроль: сума приростів координат в замкненому ході = 0. Довжини ліній можуть бути виміряні з похибкою, тому обчислюють врівноваження довжин ліній полігону.

Після обчислення приростів координат приступають до їх вирівнювання, обчислюють нев’язку окремо по вісях Х та У.

Алгебраїчна сума приростів координат повинна дорівнювати «0» в замкненому ході. Але із-за похибок з’являється лінійна нев’язка. f_Δx та f_Δy. Які повинні бути менше допустимої похибки (приклад: точки 1′ і 1).

Лінійні нев’язки:

(2.24)

Але величина нев’язок f_Δx та f_Δy ще не говорить про точність вимірювання та обчислень. Для цього обчислюють відносну нев’язку за формулою:

(2.25)

де:Р – периметр всього полігону (сума довжин ліній), м

f_абс- абсолютна нев’язка, гіпотенуза трикутника, в якого катетами є f_Δxта f_Δy :

f_абс. = (2.26)

Якщо умова виконується , то значить довжини ліній виміряні з допустимою похибкою і нев’язки по вісях (f_Δx та f_Δy) розподіляють у вигляді поправок з протилежними знаком та пропорційно довжині ліній.

f_Δx=-f_x×d_і/ P; f_Δу = -f_у×d_і / P (2.27)

де: f_Δxі- поправка по вісі Х відповідної сторони, м

f_Δyі- поправка по вісі Увідповідної сторони , м

d_i– довжина даної лінії, м

P - периметр всіх ліній, м

fx – нев’язка по вісі Х, м

f_Δу-нев’язка по вісі У, м

Контроль: сума поправок в прирости координат повинна дорівнювати нев’язці з протилежним знаком.