17. Матрицы, операции над ними. Ассоциативность умножения матриц.

Таблица : A=(a11 a12 …..a1n, a21 a21 a22 ….a2n, …. ,am1 am2 …amn) состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей (размера m × n). Если m = n, то матрица называется квадратной. Суммой А + В двух квадратных матриц А = (аij) и В = (bij) порядка n называется матрица С=(сij), всякий элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц А и В : сij = аij + bij. Определенное нами сложение матриц будет, очевидно, коммутативным и ассоциативным. Для него существует обратная операция — вычитание, причем разностью матриц A и В служит матрица, составленная из.разностей соответственных элементов заданных матриц. Роль нуля играет при этом нулевая матрица, составленная сплошь из нулей.

Произведением kA, матрицы A = (аij) на число k называется матрица А' = (а'ij),

получающаяся умножением на k всех элементов матрицы A

а'ij = k аij.

При этом выполняются следующие свойства:

k(A + B) = kA + kB;

(k + l)A = kA + lA;

(kl)A = k(lA);

1•A = A.

Пусть A=(a11 a12 …..a1n, a21 a22 ….a2n, …. ,am1 am2 …amn) , B=(b11 b12 ….b1t, b21 b22 ….b2t, . . . . ,bn1 bn2…bnt) , C=( c11 c12 …..c1l, c21 c22 ….c2l,. . . . ,cm1 cm2 …cml).

Матрица С называется произведением матриц А и В, если сij = ai1 b1j + … + ain bnj , i =1, … , m, j = 1, … ,l

Утверждение. Произведение матриц АВ определено тогда и только тогда, когда число столбцов у матрицы А равно числу строк у В.

(∀i ≤ m)(∀j ≤ k)[cij = ai1b1,j + ai2b2j + • • • + ainbnj ].

Для любых матриц A,B,C и чисел (скаляров) Л,М верны тождества:

1. A + B = B + A – коммутативность сложения (матрицы одинаковых размеров);

2. (A + B) + C = A + (B + C) –ассоциативность сложения;

3. . A + θ = A. Здесь θ матрица того же размера,что и А составленная из нулей;

4. A+(−A) = θ здесь-А матрица, элементы которой противоположны элементам матрицы А;

5. λ(A + B) = λA + λB;

6. 6. (λ + µ)A = λA + µA;

7 (λµ)A = λ(µA);

8. 1 · A = A .

1. Если A,B,C –матрицы следующих размеров A = (aij)m, B = (bij)n, C = (cij)k, тогда (A · B) · C = A · (B · C);

2.Если A,B,C-матрицы следующих размеров A = (aij)n/m, B = (bij)k/n, C = (cij)k/n,

Тогда A · (B + C) = A · B + A · C;

3.если A,B,C- матрицы следующих размеров A = (aij)s/k, B = (bij)k/n, C = (cij)k/n,

Тогда (B + C) · A = B · A + C · A.

18.Закон дистрибутивности для матриц. Дистрибутивнось- свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве.

Говорят, что две бинарные операции + и × удовлетворяют свойству дистрибутивности, если для любых трех элементов x,y,z. x*(y+z)=x*y+x*z- дистрибутивность слева. (y+z)*x=y*x+z*x – дистрибутивность справа.

Если операция × является коммутативной, то свойства дистрибутивности слева и справа совпадают.

Аддитивная и мультипликативные операции в кольцах и полях по определению удовлетворяют свойству дистрибутивности.

Если операции сложения и пересечения для односторонних идеалов некоторого кольца (или подмодулей некоторого модуля) удовлетворяют свойству дистрибутивности, то говорят о дистрибутивном кольце (или дистрибутивном модуле).

19. Определитель произведения матриц. Определителем |A | матрицы второго порядка A==(aij),или определителем второго порядка наз-ся число D2-delta2,определяемое формулой :

D2=IAI= Ia11 a12, a21 a22I=a11a22-a12a21.

Произведения а11а22 и а12а21 наз-ся членами определителя.Таким образом определитель второго порядка представляет собой алгебраическую сумму 2! Членов ,каждый из которых представляет собой произведение 2-х матричных элементов ,взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.Один из членов определителя входит в алгебраическую сумму со знаком “+” ,а другой со знаком “-”.

При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть:IA стТI=IАI. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть:IABI=IAIIBI.

. Если в матрице A поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю. Если матрица A имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю. Если строку матрицы умножить на число @ , то ее определитель умножится на это число. Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится. Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулюЕсли одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

20. Единичная и обратная матрицы. Если не оговорено противное далее все матрицы квадратные одного порядка из Мn(К).Матрица Е наз-ся единичной, если (\/XeMn(K))[X*E=X=E=X].

Факт:Справедлив общий факт теории колец , в лбом кольце единичный элемент,если существует,то единственен.

Если Е1,Е2 два единичых элемента,то Е1=Е1*Е2=Е2.В кольце Мn(К) единичный элемент существует.Этим свойством,как не трудно вычислить,обладает (1 0 0…0, 010…0, 0 0 1…0,…….0 0 0 …1).

Мтрица В наз-ся обратной матрице А,если А*В=Е=В*А.

Факт: Спаведливо общее утверждение теории ассоиативных колец с единицей, в таком кольце,если элемент имеет обратный,то только один.

Матрица В называется обратной матрицей для квадратной матрицы А , если АВ=ВА=Е. Из определения следует, что обратная матрица В будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица А (иначе одно из произведений АВ или ВА было бы не определено). Обратная матрица для матрицы А обозначается А(-1). Таким образом, если А(-1) существует, то АА(-1)=А(-1)=Е. Из определения обратной матрицы следует, что матрица А является обратной для матрицы А(-1) , то есть (А(-1)-1=А. Про матрицы А и А(-1 )можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны. Если матрица А имеет обратную, то IAI/=0 и IА(-1)I=IАI(-1). Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует. Если обратная матрица существует, то она единственна.

21.Формула обратной матрицы. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Матрица, обратная матрице А, обозначается через А-1, так что В = А-1. Обратная матрица вычисляется по формуле:

,где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j.

Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: X × A = A × X = E , где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной матрицей к матрице А и обозначается А-1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу и притом только одну, т. е. для того чтобы квадратная матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля. Для получения обратной матрицы используют формулу:Xij=(-1)ст(i+j)Mji/detA, , где Мji дополнительный минор элемента аji матрицы А. Cвойства обратных матриц:

1) (А-1)-1 = А;

2) (АВ)-1 = В-1А-1;

3) (АТ)-1 = (А-1)Т;

22. Нахождение обратной матрицы элементарными преобразованиями. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: X × A = A × X = E , где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной матрицей к матрице А и обозначается А-1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу и притом только одну, т. е. для того чтобы квадратная матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля. Для получения обратной матрицы используют формулу:Xij=(-1)ст(i+j)Mji/detA, , где Мji дополнительный минор элемента аji матрицы А. Cвойства обратных матриц:

1) (А-1)-1 = А;

2) (АВ)-1 = В-1А-1;

3) (АТ)-1 = (А-1)Т;

23. Связь операций транспонирования и взятия обратной матрицы с другими операциями над матрицами. Так наз-ся операция над m*n –матрицей А, превращающая ее в m*n матрицу A стT, у которой (i,j)-ый коэфийиент равен (j,i)-ому коэф-ту матрицы А. Операция транспонирования (А->AстТ)-унарная операция в отличии от бинарных операций сложения и вычитания. Св-ва: (AстТ)Т=А -Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц: (A+B)T=AT+BT.Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц: A+B)T=ВT+АT.При транспонировании можно выносить скаляр:(ЛА)стТ=Ласт Т.Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы:detA=detAстТ.

С каждой матрицей A = (aij) размера m*n связана матрица B = (bij) размера n*m вида: bij=aij, i=_1,m,; j=_1,n. Такая матрица называется транспонированной матрицей для A и обозначается так Aст T. Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица A = (aij) размера m*n при этом преобразовании станет матрицей размерностью n*m .Операции над матрицами: Умножение матрицы на число.Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен: dij= Лaij.Сложение матриц.Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:cij=aij+bij. Умножение матриц.Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения AxB) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго: cij=E(от nдо k=1).Комплексное сопряжение.Если элементами матрицы A = (aij) являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна _A=(_aij). Здесь _a— число, комплексно сопряжённое к a.

24. Многочлены от одного неизвестного. Алгоритм деления с остатком. Общий вид уравнения n-ной степени (где n некоторое положительное число) есть: a0xN+a1x(N-1)+…+a(n-1)x+an=0.

- многочленом n-ной степени от неизвестного х.

Многочленом называется лишь выражение вида: a0xN+a1x(N-1)+…+a(n-1)x+an. то есть лишь сумма целых неотрицательных степеней неизвестного x, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами. В частности, мы не будем считать многочленами такие выражения, которые содержат неизвестное x с отрицательными или дробными показателями. Для сокращенной записи многочленов употребляются символы f(x), g(x) и так далее. Деление многочленов.

Теория многочленов в определенном отношении похожа на теорию целых чисел, хотя внешне эти две теории не имеют ничего общего. Внутренняя же близость, схожесть этих теорий объясняется тем, что для многочленов, так же как и для целых чисел, можно определить деление и, что еще более важно, деление с остатком.

f(x) ,g(x)/=0.q(x).Многочлен делится на многочлен , если существует такой многочлен , что выполняется равенство: f(x)=g(x)q(x).

Для многочленов, как и для целых чисел, существует алгоритм деления с остатком.

Теорема о делении с остатком. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) можно найти такие многочлены q(x) и r(x , что f(x)=g(x)q(x)+r(x), причем степень r(x) меньше степени g(x) или же r(x)=0. Многочлены q(x) и r(x), удовлетворяющие этому условию, определяются однозначно.

f(x)-r1(x), s(x)=r1(x)-r(x). Если разности f(x)-r(x) и обе делятся наg(x), то их разность также делится наg(x). Если бы многочлен s(x) был ненулевым, то он имел бы степень меньшую, чем g(x), и не мог бы тогда делится наg(x). r1(x)=r(x) .Следовательно, s(x)=0, так что .

В практической деятельности для нахождения частного и остатка применяют способ вычисления, называемый «деление углом».

Деление многочлена на многочлен с остатком. Теорема 2.3 Для любого полинома f(x) и любого полинома g(x) = 0 существуют полиномы q(x) и r(x), удовлетворяющие двум условиям:

f(x) = g(x)q(x) + r(x) и deg r(x) < deg g(x)

Полиномы q(x) и r(x) определяются однозначно.

Полиномы q(x) и r(x) называют соответственно частным и остатком от

деления f(x) на g(x). В частности, если здесь положить g = x − λ, то r- константа и мы получаем в

Теорема 2.4 (Безу) Значение полинома f(x) в точке λ равно остатку от деления f(x) на λ: f(λ) = r. На практике деление с остатком выполняют ¾уголком¿, однако част-

ный случай деления многочлена p(x) = a0xn + a1xn−1

+ ... + an−1x + an на двучлен x−λ удобнее осуществлять по схеме Горнера, даже если нам

нужен только лишь остаток от деления, то есть значение p(λ). Схема получается простым сравнением коэффициентов при одинаковых степенях при раскрытии скобок в правой части тождества a0xN + a1x(N-1) + . . . + an = (x − λ)(b0x(N−1)+ b1x(N−2) + . . . + bn−1) + r

25. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида. Делители многочлена .Делитель многочлена f(x) - многочлен g(x), такой, что f(x) = g(x)q(x). Наибольший общий делитель двух многочленов. Наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) - такой их общий делитель d(x), который делится на любой другой их общий делитель.

Алгоритм Евклида (алгоритм последовательного деления) нахождения наибольшего общего делителя многочленов f(x) и g(x):

f(x)=g(x)q1(x)+r1(x),

g(x)=r1(x)q2(x)+r2(x),

r1(x)=r2(x)q3(x)+r3(x),

………………………………..

r(k-3)(x)=r(k-2)(x)+r(k-1)(x),

r(k-2)(x)=r(k-1)(x)qk(x)+rk(x),

r(k-1)(x)=rk(x)q(k+1)(x).

Тогда rk(x) - наибольший общий делитель f(x) и g(x).

26. Линейное представление наибольшего общего делителя двух многочленов.Пусть числа а1,а2,…,ак ∈ Z. Тогда существует наибольший общий делитель d этих чисел, при этом d= c1 a1+ c2 a2+ … + ck ak, где сi ∈ Z.Для вычисления наибольшего общего делителя двух целых чисел применяется способ повторного деления с остатком, называемый алгоритмом Евклида. Расширенный алгоритм Евклида помимо наибольшего общего делителя d чисел а и b находит его линейное представление, т. Е. целые числа х и у, для которых выполняется равенство.

27. Схема Горнера. Теорема Безу. Схема Горнера. Теорема Безу.Для деления многочлена n-й степени P(x)=a0xn+a1xn−1+...+an−1x+an на многочлен первой степени x−c обычно используется метод сокращенного деления - схема Горнера. Он получается как следствие определения операции деления многочленов, из которого следует, что при делении многочлена n-й степени на линейный многочлен x−c в остатке может получится либо многочлен нулевой степени (т.е. отличное от нуля число), либо нуль, а степень частного равна n−1. Пусть частное многочленов P(x) и x−c имеет вид: G(x)=α0x(N−1)+α1x(N−2)+...+α(n−2)x+α(n−1), а остаток R(x) равен числу β. Для рассматриваемого случая формула P(x)=Q(x)G(x)+R(x) принимает вид:

a0xN+a1x(N−1)+...+a(n−1)x+an=(x−c)(α0x(N−1)+α1x(N−2)+...+α(n−2)x+αn−1)+β. Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части равенства, на основании определения равенства многочленов получим систему линейных уравнений дял нахождения коэффициентов α1,α2,...,α(n−2),α(n−1), β: α0=a0, α1=a1+ca0, α2=a2+ca1, ... , α(n−1)=a(n−1)+ca(n−2), β=an+ca(n−1).

Первое уравнение системы дает значение α0=a0. Подставляя это значение α0 во второе уравнение системы, получаем α1=a1+ca0. Подставляя полученное значение α1 в третье уравнение системы, получаем значение α2 и т.д. Последним будет найдено выражение для остатка β:

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена F(x) на линейный двучлен x–a равен значению многочлена в точке а, т. е. числу F(a). Доказательство:Разделим F(x) на x–a с остатком, т. е. представим его в виде F(x)=(x-a)Q(x)+R. Как было сказано выше, остаток R является константой. Подставим x=a : F(a)=(a-a)Q(a)+R => R=F(a), что и требовалось доказать

28.Кратные корни многочлена.Определение.Число называется корнем полинома f, если f(a=0) .В силу теоремы Безу это равносильно тому, что: f : (x-a). Определение. Число @ называется корнем кратности k полинома , если f : (x-a)N и f : (x-a)(K+1), keN. Корни кратности 1 называются простыми корнями, корни кратности больше 1 называются кратными корнями.Теорема. Если @ — корень кратности k полинома f , то @— корень кратности k-1 полинома f’. Если @ — общий корень f,f’ , то @— кратный корень f . Доказательство: Пусть @—корень кратности k полинома f.

f(x)=(x-@)Kg(x), g(x)/=0. f’(x)=k(x-@)(K-1)g(x)+(x-@)Kg’(x)=(x-@)(K-1)(kg(x)+(x-a)g’(x))}_h(x),

h(@)=kg(@)/=0. 1)Если k>1, то @-корень кратности k-1 многочлена f’. 2)Если @ корень f’ ,то k>1, значит ,@-кратный корень многочлена f.

Число корней многочлена степени n не превышает n даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.

Всякий многочлен p(x) с вещественными или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема алгебры) .

Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля (по определению).

Более того, многочлен с вещественными коэффициентами p(x) можно записать в виде:p(x)=an(x)(x-c1)(x-c2)….(x-cn). где c1,c2,…,cn— (в общем случае комплексные) корни многочлена p(x), возможно с повторениями, при этом если среди корней c1,c2,…,cn многочлена p(x) встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.

29.Основная теорема о существовании корня многочлена и ее следствия. Основная теорема алгебры комплексных чисел. Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один комплексный корень, в общем случае комплексный.

Примем без доказательства теорему из теории функций комплексного переменного.

Если действительная функция g(x) комплексного переменного х непрерывна во всех точках замкнутого круга E, то в круге Е существует такая точка х₀, что для всех х из Е имеет место неравенство g(x) > g(x₀). Точка х₀, следовательно, является точкой минимума для g(x) в круге Е.

Приведенная теорема имеет простую и понятную геометрическую интерпретацию.

Доказательство основной теоремы. Рассмотрим многочлен f(x) степени п, п ³ 1. Очевидно, что f(0) = а_п, где а_п – свободный член многочлена. Применим к многочлену лемму о возрастании модуля многочлена, полагая М = çf(0)ç = çа_пç. По этой лемме существует такое N, что при çх ç > N будет выполняться çf(х)ç > çf(0)ç. Построим замкнутый круг Е, ограниченный окружностью радиуса N, с центром в точке 0. К этому кругу применим выше приведенную теорему о существовании точки минимума. По этой теореме существует в круге Е некоторая точка х₀, которая и является точкой минимума многочлена f(x) в этом круге. Из этого следует, что çf(х₀)ç £ çf(0)ç. Можно заключить, что х₀ будет точкой минимума для çf(х)ç для всей комплексной плоскости, так как если точка х₁ не принадлежит кругу Е, то çх₁ç > N, и поэтому çf(х₁)ç ³ çf(0)ç ³ çf(х₀)ç. Отсюда следует, что f(х₀) = 0, то есть х₀ является корнем многочлена f(x). Если бы это условие не выполнялось, то есть f(х₀) ¹ 0, то по лемме Даламбера существовала бы такая точка х*, что çf(x*)ç < çf(х₀) ç, но это противоречит только что установленному свойству точки х₀. Многочлен f(x) п-й степени можно разложить в произведение п линейных множителей.

Доказательство. Основная теорема позволяет утверждать, что многочлен f(x) с комплексными коэффициентами имеет корень , комплексный или действительный. Поэтому многочлен можно представить в виде

Многочлен также должен иметь корень, который обозначим , и получим

Продолжая далее, придём окончательно к разложению многочлена в произведение линейных множителей

(1)

Разложение (1) является для многочлена f(x) единственным с точностью до порядка сомножителей.

30. Многочлены f и g называют взаимно простыми, если gcd(f; g) = 1. Очвидно, это равносильно тому, что общими делителями f и g являются толь

ненулевые константы. Теорема:Для любых взаимно простых многочленов f, gеZ [x] существуют взаимно простые многочлены u, veZ[x], удовлетворяющие равенству: f*u+g*v=Ф, где Ф-делитель (в кольце[x]) некоторого многочлена вида: xK(xL-1),k,leN.

Пусть многочлены f, geZ[x], взаимно просты. Тогда найдутся взаимно простые u1,v1eZ[x] и натуральное число m такие, что: f*u1+g*v1=m

31.Формулы Виета.f(x)=a0xN+a1xN-1+..+aa-1+an и известны b1,b2,..bn корни f(x) :(x-b1)(x-b2)..(x-bn)=f(x) .Xn-(-b1-b2-..-bn)xN-1 +(b1b2..bn-1bn)xN-2+..+(-1)N-1(b1b2..bn-1+b2bn-1+..+x(-1)Nb1b2..bn=f(x)

B1b2+..bn=-a1

E(i<j)bibj=a2

E(i<j<k)blbjbk=-a2

П(n)(i=j)bi=(-1)N*an. Пусть f(x)=xN+a1xN-1+..+an м ногочлен со старшим коэф.1 и Л1,Л2,..,Лn все его корни .Тогда:

a1=-ЕiЛj

a2=Ei<jЛiЛj

a3=-Ei<j<kЛiЛjЛK

…………………………

An=(-1)NП(n)(i=1)Лi.

32.Рациональные корни многочлена c цел коэф.

Если многочлен f(x)=a0xN+a1XN-1+…an имеют целые коэф,то совершенно точно можно найти все рациональные корни f(x):

Th:Если f(x)еZ[x]

И несократимая p/q явл. корнем f(x),то:p-делитель an;q-делитель a0;(VmeZ)[(p-mq)\f(m)], в частности p-q делитель f(1) и p+q делитель f(-1).Эта теорема в кандидиты в корни многочлена конечное число чисел.3-ий пункт служит резклму сужению круга таких кандидатов.Проверку числа на корень многочлена удобно производить по схеме Горнера:f(x)=a0xN+a1xN-1+a2X-2+…+an-1x+an.

Свойства:

Число корней многочлена степени n не превышает n даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.

Всякий многочлен p(x) с вещественными или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема алгебры) .

Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля (по определению).

Более того, многочлен с вещественными коэффициентами p(x) можно записать в виде p(x)=an(x-c1)(x-c2)..(x-cn)

где c1,c2,..cn — (в общем случае комплексные) корни многочлена p(x), возможно с повторениями, при этом если среди корней многочлена p(x) встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.

Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени n, учитывая кратные корни кратное количество раз, равно n. При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.

Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.

33.Система Штурма.Упорядоченная последлвательность многочленов f0(x),f1(x),..,fk(x) наз-ся системой Штурма для многочлена f(x),если:f(x)=fi+1(x),0<=i<=k-1 не имеют общих вещ. корней;если @ вещ корень вспомогат многочлена fi(x) для 1<=i<=k-1,то fi-1(@)*fi+1(@)<0; если @ вещ корень многочлена f0(x),то произведение f0(x)f1(x) возрастает в достаточно малой окрестности @.

Th.Для любого многочлена с вещ коэфбне имеющего кратных корней существ система Штурма.Построение системы Штурма похоже на алгоритм Евклида.

f0(x)=f(x)

f1(x)=f’(x)

f0(x)=f1(x)*q0(x)-f2(x)

f1(x)=f2(x)*q1(x)-f3(x)

……………………………….

fi-1(x)=fi(x)*qi-1(x)-fi+1(x)

…………………………

fk-1(x)=fk(x)*qk-1(x). Ряд Штурма используется для определения количества вещественных корней многочлена на промежутке (см. теорему Штурма). Отсюда вытекает возможность его использования для приближённого вычисления вещественных корней методом двоичного поиска.

34.Теорема Штурма.Если многочлен с веществ коэф не имеющий кратных корней,и числа a<b не явл корнями f(x),то число веществ корней многочлена многочлена в интервале (a,b) равно W(a) -W(b).функция W(x) принимает натур-ые значения,поэтому может изменятся скачками.Т.к многочлены явл непрерывн функц ,то точки в которых могут происходить такие скачки обязательно явл корнями одного из многочленов сист Штурма.Т.к каждый многочлен имеет только конечное число корней,то число точек в которых происходят скачки конечно.Пусть x меняется от -& и встречается одна из точек @.

1.@ корень вспомогат многочлена fi(x),i>=1.

Эпсилон Э;(@-Э.@+Э) функц fi-1(x),fi+1(x) пост знак W’(@-Э) и W’(@-Э)=>fi-1(x),fi(x),fi+1(x)

2.@-корень многочлена (@-Э,@+Э) функц f1(x) имеет пост знак W’(x) перемены знаков в подсистеме f0(x),f1(x) до и после @.

X	f0(x)	F1(x)	W’(x)
@-Э	-	+	1
	+	-
@+Э	+	+	0
	-	-

35.Арифметические линейные пространства.K-поле числовое.Элементы К будем называть скалярами и обозначать греческими буквами @,B,G,M,Л,a1,a2… n>=1,n- вида (a1,a2,..an) будем называть вектором.Векторы обозн-ся x,y,z,a,b,c,d,a1,a2,…. X=(a1,a2,..an), y=(B1,B2,…Bn) считаются равными лишь только если они буквально совпадают ,т.е @1=B1,@2=B2,..,an=Bn.

Определим сложение векторов по правилу: x+y=(a1,a2,..,an)+(B1,B2,..Bn)=(@1+B1,@ 2+B2,..,@n+Bn).Умножение скаляра BеK на вектор X по правилу Bx=B(@1,@2,.,an)=(B@1B@2,...,B@n). Множество вект: (kN,+,0Л,=)ЛеK или через kN

VxVy[x+y=y+x].

VxVyVz[(x+y)+z=x+(y+z)] ЭоVx[x+o=x], o-нулевой элемент.

Vx Эy[x+y=o],противоположн.элемент

(VЛеK)VxVy[Л(x+y)=Лx+Лy]

(VлеЛ)(VМеK)Vx[Л+M)x=Лx+Mx].

(VЛеК)(VМеK)Vx[(ЛМ)ч=Л(Mx)].

Vx[1x=x^0x=o]

36.Линейные пространства.подпространства,оболочки.Пусть V произвольное множество на котором задана бинарная операция +.Пусть К-числовое поле и любому числу ВеК и вектору аеV однозначно сопоставлен вектор ,обозначаемый через Ва,тогда (V,+,oЛ,=)ЛеК наз-ся линейным пространством над полем К,если эти операции удовлетворяют свойствам :

VxVy[x+y=y+x].

VxVyVz[(x+y)+z=x+(y+z)] ЭоVx[x+o=x], o-нулевой элемент.

Vx Эy[x+y=o],противоположн.элемент

(VЛеK)VxVy[Л(x+y)=Лx+Лy]

(VлеЛ)(VМеK)Vx[Л+M)x=Лx+Mx].

(VЛеК)(VМеK)Vx[(ЛМ)ч=Л(Mx)].

Vx[1x=x^0x=o] из определения арифметического линейного пространства.

Примеры линейного пространства над полем:*арифметич лин пространстао кN над полем К для любого n>=1; *множество Мn(k) квадратн матриц над полем К с операц сложения матриц и умножение матриц на число; *Мн-во многочленов кN[x] с коэф из поля К,степень которых не привышает числа n,относительно сложения многочленов и умножения многочленов на чилор из К. *Мн-во kW, бесконечных последовательностей чисел из К относительно покомпонентного сложения последовательностей и умножения на скаляры.; *Мн-во К [x] всех многочленов над К относительно сложения многочленов и умножения их на числа ; *Мн-во L ст a,b всех непрерывных вещественных функций относительно поточечного сложения функ и умножения их на скаляр. -Нулевой элемент в линейн простр-ве единственен; -Для каждого элемента линейного прост-ва противоположный к нему элемент единственен.

Непустое подмножество линейного пространства V наз-ся пдпространством в V, если оно замкнуто относительно сложения своих векторов и умножения их на любые скалярыиз поля К. Линейной оболочкой Э(J) системы векторов J={a1,a2,..ak} наз-ся совокупность всевозможных линейных комбинаций M1a1+M2a2+..+Mkak векторов из J.Линейная оболочка системы векторов J-явл подпространством прос-ва V,при чём наименьшим из содержащих J.

37.Теорема о базисе. Th о базисе: Любые два базиса подпространства H равномощны. Факт:Всякую линейно независимую систему векторов в H можно расширить да базиса H.

Определение. Пусть ->a – произвольный вектор,, {e1,e2,..,en}.

– произвольная система векторов. Если выполняется равенство ->a=@1e1+@2e2+..+@nen (1)

то говорят, что вектор a представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов {e1,e2,..,en} является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису {e1,e2,..,en}.

Определение 2. Два лежащих в плоскости П линейно независимых вектора ->a и ->b образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в этой плоскости вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов ->a и ->b.

Имеют место следующие фундаментальные утверждения:

1). любая тройка некомпланарных векторов ->a,->b и ->c образует базис в пространстве;

2). любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов ->a и ->b образует базис на этой плоскости.

Теорема. Каждый вектор ->d может быть единственным способом разложен по базису->a ->b,->c ,

Числа x,y ,z называются координатами вектора ->d относительно базиса ->a,->b ->c.

Доказательство. Пусть таких разложений два: - >d=x*a+y*b+z*c и ->d=x1a+y1b+z1c

Вычитая почленно получаем : (x-x1)->a+(y-y1)->b+(z-z1)->c=0 В силу линейной независимости базисных векторов n->a ->b,->c , : x-x1=0, y-y1=0, z-z1=0; или x=x1. y=y1, z=z1. Единственность разложения по базису доказана.

38.Связь между базисами пространства.Базисом пространства наз-ся максимальная линейно-независимая система векторов данного пространства .Базисом в пространстве наз-ся упорядоченная тройка неколлинеарных векторов.

Th.Линейно независимая система образующих B линейного пространства L явл-ся его базисом .

Th.Всякая система образующих на B простр-ва L размерности n>0 содержит базис этого простр-ва .

Th.Всякая линейно независимая система векторов простр-ва L ст n может быть дополнена до базиса простр-ва L cт n.

39.Сумма и пересечение подпространств.Если е1,е2,..еn базис линейного пространства, V над полем К,то любой вектор ->a еV имеет однозначное разложение a=M1e1+M2e2+…+Mnen. Коэфициенты этого разложения наз-ся координатами вектора а в базисе е1,е2,..еn. Тогда вектор а сопоставляют строку (M1,M2,..,Mn). Два линейных простр-ва V1,V2 над одним и тем же полем наз-ся изоморфными,если сущ-т биекция. П:V(1-1/наV2) такая,что (\/ @eK)(\/BeK) \/x\/y [П(@x+By)=@П(x)+BП(y)]/

Th.Два лин-ых прост-ва V1,V2 над одним и тем же полем явл-ся изоморфными,если и только,если dim(V1)=dim(V2).

Если H1,H2 пдпространства V, то их суммой наз-ся мн-во H1+H2={x+y/xeH1/\yeH2}.

Th.Если H1,H2 подпрострнства линейного пространства V,то : *пересечение H1/\H2={x/xeH1/\xeH2} явл-ся подпространством пространства V. *сумма H1+H2 явл-ся наименьшим подпространством V, содержащим H1\/H2.. Сумма подпространств H1,H2 наз-ся прямой ,если H1 /\H2={0}.В этом случае эта сумма обозначается H1o(+)H2.

40.Различные понятия ранга матрицы.Ранг ступенчатой матрицы. *Строчным рангом матр.А назовем число re (A) =dim (A1,A2,…,Am).

Рангом матрицы A наз-ся максим из порядков миноров отличного от 0 этой матрицы. Он будет оборзначаться символом rc(A)=rb(A’), rb(A)=rc(A’); * для любой матрицы A верно равенство r(A’)=r(A). Если А ступенчатая матрица,то r(А) и rc(A) равны числу ненулевых ступенек в А.

Th.Пусть матрица В получена из матрицы А конечной цепочкой преобразованиий Гаусса со строками. Тогда rc(A)=rc(B),r(A)=r(B).

Следствие(Th о ранге матр).Для любой матрицы A все три понятия ранга матрицы rc(A),r(A),rb(A) совпадают .

Если А ступенчатая матрица ,то r (A) и rc(A) равны числу ненулевых ступенек в А.Любую матрицу можно привести к ступенчатому виду преобразованиями Гаусса со строками .Для доказательства того,что все три понятия ранга совпадают,достаточно понять,что ранг матрицы и строчный ранг матрицы явл инвариантом преобразований Гаусса со строками.

41.Теорема о ранге матрицы . Теорема (о ранге матрицы) Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A равен рангу этой матрицы.Пусть наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A равен r. Без нарушения общности рассуждения предположим, что минор r-го порядка в левом верхнем углу матрицы отличен от нуля (он равен D¹0)

а11 … а1r

………

ar1 … arr

Тогда первые r столбцов этой матрицы будут линейно независимыми, а всякий l-й столбец матрицы будет линейно зависимым, т. к. «окаймление» выделенного минора дает определитель, равный нулю. То есть сумма парных произведений элементов нижней строки любого «окаймления» на их алгебраические дополнения равна нулю:

аi1A1+ аi2A2+…+ аirAr+ аilD=0 откуда

аil= - аi1A1/D - аi2A2/D-… - аirAr/D

Это равенство справедливо при всех i, i=1, 2,…, s, а так как его коэффициенты от i не зависят, то мы получаем, что весь l-й столбец матрицы A будет суммой ее первых r столбцов, взятых с приведенными в последнем выражении коэффициентами. Таким образом, в системе столбцов матрицы A найдена максимальная линейно независимая подсистема, состоящая из r столбцов. Этим доказано, что ранг матрицы A равен r. Эта теорема дает метод для практического вычисления ранга матрицы, а поэтому и для решения вопроса о существовании линейной зависимости в данной системе векторов.

Метод нахождения ранга матрицы, основанный на теореме о ранге, требует вычисления хотя и конечного, но, возможно, большого числа миноров этой матрицы. Но, анализируя доказательство теоремы приходим к следующему правилу вычисления ранга матрицы: При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-го порядка D, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Следствие 1 из теоремы о ранге матрицы:Максимальное число линейно независимых строк всякой матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов, т. е. равно рангу этой матрицы.При транспонировании максимальный порядок отличных от нуля миноров не может измениться, так как транспонирование не меняет значения определителя, а для всякого минора исходной матрицы, минор, полученный из него транспонированием, содержится в новой матрице, и обратно.

42.Кольца и поля вычетов.Пусть К непустое множество имеющее особый эиемент обозначаемый символом –О,на котором определены две 2х местные операции +сложение и *умножение ,т.е если x,y принажлежит К следует ,что x+y принадлежит К и x*y принадлежат К.В наиболеее распространенных случаях эти операции удовлетворяют следующим св-вам:

VxVyVz[(x+y)+z=x+(y+z)]-ассоциативность операций

VxVy[(x+y=y+x]-коммутативность сложения

Vx[x+0=x]-нейтральность нуля.

VxЭy[x+y=0]- противоположный элемент

VxVyVz[x(y+z)=xy+xz; VxVyVz[(y+z)x=yx+zx]- дистрибутивность

Опр:Если множество К обладает всеми этими св-ами,то оно наз-ся кольцом.

Факт: Нейтрально относительно сложения элемент в кольце единственнен . для каждого элемента х кольца противоположны элемент y единственнен и обозначается через – х.

Опр2. Кольцо К называется ассоциативным ,если в нем дополнительно ассоциативно умножение.

VxVyVz[(x*y)z=x(y*z)]

Орп3. Кольцо К называется комутативным ,если в нем дополнительно комутативно умножение VxVy[x*y=y*x)]

Опр4. Кольцо К имеет еденицу 1 , если Vx[x*1=x=1*x]

Опр5. Если К кольцо с единицей, то элемент х называется обратимым, если существует y e К такой, что x*y=1=y*x. Элемент у называется обратным к х.

Опр6.Ассоциативное и коммутативное кольцо с единиицкй назвается полем, если каждый элемент отличный от нуля обратим.

(Q, +, *,=) и (R, +,*,=) ясвляются полями рациональных и действительных чисел.

(Z,+,*,=) целые чсла – ассоциативиное и коммутативное кольно с единицей.

(2Z,+,*,=) честные числа – ассоциативное и коммунитативное кольцо без единицы.

Прочие разделяющие примеры некоммутативных и(или) неассоциативных колец будут отпределяться по ходу изложения.

Т1. Кольцо вычетов Zn является полме тогда и только тогда, когда n простое число.

Опр8. Если для кольца К существует натура число m такое, что Vx(mx=0), то наименьшее из таких чискл называется характеристикой кольца К и обозачается через char(K). Если таких m нет, то характеристика кольца считается равной нулю. Например, char(R)=0=char(Q) и char(Z)=n.

Т2. Характеристика любого поля либо нуль, либо простое число.

Т3. 1) Всякое поле характеристики нуль содержит в качестве подполя поле рациональных чисел.

2) Всякое поле простой характеристики p содержит в качестве подполя поле вычетов Zp.

43.Евклидовы и унитарные прост-ва.Процесс ортогонализации. Евклидовым пространством называется вещественное линейное пространство V с заданной V на положительно определенной симметрической билинейной функцией f:V*V->R ,которая называется скалярным произведением и обозначаетс f(x,y)=(x,y). Пример. Рассмотрим примеры евклидовых пространств. 1. Арифметическое пространствоRст n,Если X,Y,-- столбцы координат векторов X и Y соответственно в стандартном базисе, то (x,y)=x ст t Y.

2. Пространство C[a,b] непрерывных функций на [a,b] .Для любых двух функций f,g e C[a,b] , полагаем (f,g)=}{ от а до b) f(x)g(x)dx

3. Пространство многочленов степени не больше n . Для любых двух многочленов f,g.

полагаем (f,g)=}{(от a до b)f(x)g(x)dx. Определение. Унитарным пространством называется линейное пространство над полем комплексных чисел C, на котором определена эрмитова положительно определенная функция. Она обозначается также(‘,’).Теорема. Для любых векторов x,y e Vунитарного пространства V справедливо неравенство I(x,y)<=IxIIyI.Определение. Базис (e1,…en) в евклидовом (унитарном) пространстве E называется ортогональным нормированным (ортонормальным), если для любых базисных векторов справедливо равенство (ei,ej)=бij.Процесс ортогонализации. Пусть даны линейно независимые векторы a1,..ak,Требуется найти такие векторы b1,...bk,что (bi,bj)=0, при i\=j и ,bi=E(i=1 j=1 @J aj+ai)

Тогда Lim(a1,..,ai)=lim(b1,..bi)=Li и Li+ai+1=Li+bi+1.

Берем b1=a1 .Хотим (b2,b1)=0 b2=@ ст1а1+а2, ,тогда a ст 1=-(a1,a2)/(a1,a2) , a1/=0 .На i-ом шаге получаем

b1=E(i-1 j=1)@Jаj+ai=E(i-1 j=1)bj+ai и . BJ= - (ai,bj)/(bj,bj).

Система векторов а1,а2,….,ак наз-ся ортоганальной,если (ai,aj)=0 прb i/=j.Ортоганальность друг другу пары векторов записывать в виде x перпенд. Y.

Если H=L(a1,a2,…ak) подпространство унитарного пространства V,сущ-ет ортоганальная система векторов b1,b2,…,bk порождающая H, которая строится следующим образом:

b1=a1

b2=a2+Л2,1b1

b3=a3+Л3,1b1+Л3,2b2

…………………………………

Bk=ak+Лk,1b1+Лk,2b2+..+ Лk,k-1bk-1 , где коэфициенты подбираются так,чтобы очередной вектор ортоганален всем предыдущим: Лi,j=-(ai,bj)/(bi,bj), j<i<=k.

44.Неравенство Коши-Буняковского,длина вектора и угол между векторами.Th.Для любых векторов x,y унитарного пространства V справедливо неравенство I(x,y)I*2<=(x,x)(y,y).Равенство здесь достигается если и только ,если векторы x,y коллинеарны в V, т.е существует скаляр @ такой, что x=@y.Док-во: Пусть t вещес-ая переменная. Рассмотрим вектор x+ty.Из аксиом скалярног о произведения следует,что (x+ty, x+ty)>=0.раскроем это неравенство по дистрибутивности,учитывая вещественность t. (x,x)+t(x,y)+t(y,x)+t*2(y,y)>=0.(y,x)=(x,y__) и (x,y)(x.y_)=2Re((x,y))-веществ число . (y,y)t*2+2Re((x,y))t+(x,x)>=0. 4[Re((x,y))]*2-4(x,x)(y,y)<=0. [Re((x,y))]*2<=(x,x)(y,y). (x,y)*2(x,x)(y,y). I(x,y)I*4<=(x,x)(y,y)[(x,y)]*2. I(x,y)I*2<=(x,x)(y,y). Если x=@y,то x-@y=0. (x-@y,x-@y)=0 ….I(x,y)I*2(x,x)(y,y). Th доказана.

Вектором называют упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одиннаковую длинну.Угол между векторами . Углом между векторами ->xeE и ->yeE называют угол Ф , для которого cos Ф=->x*->y/IxIIyI , 0<=Ф<=2П.

45.Векторы .Скалярное произведение. Вектором называют упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одиннаковую длинну.

1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) l>0, то АВ, l<0, то А¯В. в)l>1, то А<В, )l<1, то А>В. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n).

Пусть имеем векторное пространство V и систему векторов A={-a1,-a2,-a3,..ak} (система отличается от множества тем, что в ней могут быть одинаковые элементы). Вектор ->p=@1a1+@2a2+@3a3..+@kak- называется линейной комбинацией системы векторов A. Если все скаляры α1 = α2 = α3... = αk = 0, то такая комбинация называется тривиальной (простейшей), (и –p=0). Если хотя б один скаляр отличен от 0, то такая комбинация называется нетривиальной.

Определение 1: система векторов A называется линейно-независимой, если только тривиальная линейная комбинация векторов системы равна 0 , (т.е. –p=@1a1+@2a2+@3a3....+@kak=->0 @1=@2=@3=@k=0)

Определение 2: система векторов A называется линейно-зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация, равная .Скалярным произведением векторов →a и →b называется число, обозначаемое (→a, →b) и равное произведению их модулей и косинуса угла j между ними, т.е. (→a, →b) = |→a| · |→b| · cosj, Свойства скалярного произведения векторов Для любых векторов →a, →b, →c и любых чисел α, β: 1.(→b, →a) = (→a, →b);2. (→a, →b + →c) = (→a,→b) + (→a, →c); 3.(α · →a, →b) = α · (→a, →b); 4.(→a, →a) = |→a|2 ≥ 0 , причем (→a, →a) = 0 ЬЮ →a = →0. Из определения скалярного произведения следует, что угол между ненулевыми векторами →a и →b определяется формулой cosj = (→a, →b)/|→a| |→b| (1). Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол j не определен. Из формулы (1) следует условие ортогональности векторов: два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е. →a^ →bЬЮ (→a, →b) = 0 (нулевой вектор можно считать ортогональным любому вектору).

Угол между векторами . Углом между векторами ->xeE и ->yeE называют угол Ф , для которого cos Ф=->x*->y/IxIIyI , 0<=Ф<=2П.

46.Уравнение прямой на плоскости.Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох . Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox; 2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy; 3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат; 4) y = 0 - ось Ox; 5) x = 0 - ось Oy.

47.Смешанное произведение векторов. Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=-(b,a,c)=-(a,c,b); т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что:

[a,(b,c)]=[(a,b),c]

Смешанное произведение (a,b,c) в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов a,b и c:

В частности,

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл — Смешанное произведение (a,b,c) по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда), образованного векторами a,b и c; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

Теорема. (Геометрический смысл смешанного произведения.)

1) Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах, как на его ребрах:

2) , если тройка – правоориентированная и в противном случае.

Доказательство. 1) Обозначим через объем параллелепипеда, построенного на данных векторах, как на его ребрах.Объем параллелепипеда V равен произведению площади основания S на высоту Н:

Площадь основания S численно равна модулю векторного произведения: , а высота Н равна модулю проекции вектора a на вектор : . Отсюда получаем: V=SH=I-b*-cI*Iпр-daI=IIb*cI{b*c(пр-в*с –а=I-a*(-b*-c)I=I-a*-b*-cI ч.т.д.

48.Векторное произведение векторов. Векторным произведением вектора a на вектор b в пространстве Rст3 называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла Ф ; между ними IсI=IaIIbIsinФ.

вектор с ортогонален каждому из векторов a и b.

вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

в случае пространства Rст7 требуется ассоциативность тройки векторов a.b,c.

1.При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa )

Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(а хb ) = (lа ) х b = а х (lb ).

Пусть l>0. Вектор l(ахb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( lа)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторы l(ахb ) и ( lа)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

IЛ(-а*-b)I=ЛI-a*-bI=ЛI-aII-bIsin(-a ^-b).. I(Л-a)*-bI=IЛaIIbIsin(Лa^bЛIaIIbIsin(a,b).

Поэтому l(a хb )= lахb . Аналогично доказывается при l<0.

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.

49.Уравнение плоскости в пространстве. Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом: ax + by + cz + d = 0.Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x0, y0, z0), то ее уравнение можно привести к виду a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0.Уравнение a/b+b/y+c/z=1 называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Нормаль к плоскости имеет координаты (-a,-b,-c). Угол между двумя плоскостями легко вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти плоскости задаются уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0 и a2x + b2y + c2z + d2 = 0, то угол между плоскостями равняется Ф=(-n1*-n2)/I-n1II-n2I=(a1a2+b1b2+c1c2)/ \/a1*2+b1*2+c1*2\/a2*2+b2*2+c2*2..

Расстояние от точки (x0; y0; z0) до плоскости, задаваемой уравнением ax + by + cz + d = 0, равно h=Iax0+by0+cz0+d/ \/a*2+b*2+c*2I.

В трехмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, r0 является радиусом-вектором точки P0, заданной на плоскости, и допустим, что n - это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка P с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от P0 к P, перпендикулярен n.

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что0: n(r-r0)=0

(Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)..

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

50.Различные уравнения прямых на плоскости. Общее уравнение :Ax + By + C ( A*2+B*2> 0). Вектор n = (А; В) - нормальный вектор прямой. В векторном виде: n*r + С = 0, где ->r - радиус-вектор произвольной точки на прямой Частные случаи: 1) By + C = 0 – прямая параллельна оси Ox; 2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy; 3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат; 4) y = 0 - ось Ox; 5) x = 0 - ось Oy.

Уравнение прямой в отрезках:x/a+y/b=1 где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Нормальное уравнение прямой : xcos@+ysin@-p=0 где - @угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:Ax+By+C/+-\/A*2+B*2=0

Здесь 1/-+\/A*2+B*2 - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если C/=0 , и произвольно, если C = 0.

Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности..Углом O между двумя прямыми L1 и L2 на плоскости называется наименьший угол, на который нужно повернуть прямую L1 в положительном направлении таким образом, чтобы она совпадала с прямой L2. Пусть прямые L1 и L2 изаданы уравнениями: L1:y=k1x+b1k1=tgФ1, L2:y=k2x+b2,k2=tgФ2.

Ф2=Ф1+О. tgO=tg(Ф2-Ф1)=tgФ2-tgФ1/1+tgФ1-tgФ2. Окончательно tgO=k2-k1/1+k1k2. Прямые L1 и L2 являются параллельными в том и только в том случае, когда tgФ1=tgФ2, то есть L1IIL2 k1=k2 . Для случая перпендикулярности прямых tgO не существует, то есть L1 перп. L2<=> k1k2=-1.

Вектор n (А,В) ортогонален прямой, числа A и B одновременно не равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y - y o = k (x - x o ), где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tg a , где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (x o, y o ) - некоторая точка, принадлежащая прямой. Уравнение принимает вид y=kx + b, если M (0, b) есть точка пересечения прямой с осью Оy. Уравнение прямой в отрезках: x/a + y/b = 1,

где a и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки - A(x 1, y 1 ) и B(x 2, y 2 ): y-y1/n=x-x/m. . Нормальное уравнение прямой: rn ст о - р = 0, где r - радиус-вектор произвольной точки M(x, y) этой прямой, n о - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; р - расстояние от начала координат до прямой.

51.Различные уравнения плоскостей в пространстве. Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z Ax + By + Cz +D = 0 задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости. Уравнение a/x+b/y+c/z=1 называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Нормаль к плоскости имеет координаты (->a,->b,->c). Угол между двумя плоскостями легко вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти плоскости задаются уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0 и a2x + b2y + c2z + d2 = 0, то угол между плоскостями равняется Ф=(-n1*n2)/In1IIn2I=(a1a2+b1b2+c1c2)/ \/a1*2+b1*2+c1*2\/a2*2+b2*2+c2*2. Расстояние от точки (x0; y0; z0) до плоскости, задаваемой уравнением ax + by + cz + d = 0, равно h=Iax0+by0+cz0+d/ \/a*2+b*2+c*2I. x/a+y/b+z/c=1 ур наз-ют ур плоскости в отрезках на осях, т.к. числа a, b, c имеют простой геометрический смысл: а - абсцисса точки пересечения плоскости с осью Ох, b - ордината точки пересечения плоскости с осью Оу, с - аппликата точки пересечения плоскости с осью Oz. Действительно, точка пересечения плоскости с осью, скажем, Ох имеет ординату у = 0 и аппликату z = 0. Но координаты этой точки (х,0,0) должны удовлетворять уравнению полскости ,т.е A*x+B*0+C*0+D=0.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору нормали : N(A,B,C):A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 в векторной форме: ((r-r0),N)=0. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M(xi,yi,zi) , не лежащие на одной прямой:

((r-r0),(r2-r1),(r3-r1))=0. *нормальное ур плоскости: xcos@+ycosB+zcosY-p=0.

Пусть дано n-мерное аффинный-точененое пространство Kn(V,P), над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат O,-e1,..,-en. m-плоскостью называется множество точек α, радиус векторы которых удовлетворяют следующем соотношению @={xIx=Anm-tm+-d} .Anm - матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, t- вектор переменных,d - радиус-вектор одной из точек плоскости. Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:x=a1t1+..+amtm+d,ai e V- векторное уравнение m-плоскости.

Вектора образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости α,β называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и Эxe@: x/eB. (n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть n - нормальный вектор плоскости –r=(x*1,..,x*n), - вектор переменных, - r0- радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда: (0r—r0,-n)-0 - общее уравнение плоскости.

Примеры m-плоскостей: 1)Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве(n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: α = {ax,ay,az}t + {bx,by,bz}. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью. 2)Гиперплоскостью в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

52.Уравнение прямой в пространстве. Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными. В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых: прямые пересекаются; прямые параллельны; прямые скрещиваются. Прямая линия — алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).Уравнение прямой в пространстве, заданной точкой M0 и направляющим вектором p→

Oe1→e2→e3→− аффинная система координат

M0(x0,y0,z0)− точка;

p→(p1,p2,p3)− направляющий вектор;

d[M0,p→]−? Берем произвольную точку M(x,y,z), для того чтобы она принадлежала нашей прямой d необходимо и достаточно, чтобы −−−−−−−→M0M∣∣p→, поэтому: если p1/=0; p2/=0; p3/=0, то уравнение прямой в пространстве будет:

x−x0/ p1=y−y0/ p2=z−z0/p3; если p1/=0; p2/=0; p3=0, то уравнение прямой в пространстве будет:

x−x0/p1= y−y0/p2=;z−z0/p3=0; если p1=0; p2=0; p3/=0, то уравнение прямой в пространстве будет: x−x0=0;y−y0=0.

Уравнение прямой в пространстве, заданной двумя плоскостями:Даны 2 плоскости θ1:A1x+B1y+C1z+D1=0 (1) .θ2:A2x+B2y+C2z+D2=0(2) θ1⋂θ2=d. Берем произвольную точку M(x,y,z), для того чтобы она принадлежала нашей прямой d необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала плоскости θ1 и плоскости θ2. Чтобы найти каноническое уравнение прямой надо знать координаты точки M0(x0,y0,z0), принадлежащей прямой d и вектора p→∣∣d. Координаты точки получим как решение системы (1) и (2). Для нахождения координат вектора p→(p1,p2,p3) воспользуемся следующей леммой. Лемма. Если прямая d в аффинной системе координат задана системой (1),(2), то вектор p→ с координатами: p→(∣∣∣∣∣ B1 B2 C1 C2 ∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣ C1 C2 A1 A2 ∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣ A1 A2 B1 B2 ∣∣∣∣∣)(определители), Является направляющим вектором этой прямой. Параметрическое уравнение прямой в пространстве Oe1→e2→e3→− аффинная система координат M0(x0,y0,z0)− точка; p→(p1,p2,p3)− направляющий вектор; d[M0,p→]−? Берем произвольную точку M(x,y,z), для того чтобы она принадлежала нашей прямой d необходимо и достаточно, чтобы −−−−−−−→M0M∣∣p→, тогда параметрическое уравнение прямой x−x0=tp1; y−y0=tp2; z−z0=tp3;

53.Различные уравнения прямых пространстве. В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых: прямые пересекаются;прямые параллельны;прямые скрещиваются.Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z : Ax + By + Cz +D = 0. Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей – A1x+B1y+C1z+D1= 0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений:{ A1x+B1y+C1z+D1=0 {A2x+B2y+C2z+D2=0

Векторно-параметрическое уравнение прямой :-r—r0+at, где M0(-r0)=M0(x0,y0,z0) - фиксированная точка, лежащая на прямой –a=(l,m,n)-направляющий вектор. В координатах (параметрические уравнения):x=xn+lt, y=y0+mt, z=z0+nt.

Канонические уравнения прямой:x-x0/k=y-y0/l=z-z0/m. В канонических уравнениях прямой допускается в знаменателе писать 0. Это не означает, что можно выполнить деление на 0. Просто из канонических уравнений мы получаем информацию о том, что направляющий вектор прямой имеет координаты k,l,m , из которых одна нулевая. Уравнения прямой по двум точкам: x-x0/x1-x0=y-y0/y1-y0=z1-z0.

Прямая как линия пересечения двух плоскостей: (система ){A1x+B1y+C1z+D1=0 {A2x+B2y+C2z+D2=0, при условии, что не имеют места равенства A1/A2=B1/B2=C1/C2.

54.Кольца и поля определения. Кольцом R называется множество элементов, на котором определены две операции – сложение и умножение, и в R выполняются следующие аксиомы:

1)R.1. Множество R является аддитивной абелевой группой.

2)R.2. Для любых двух элементов a и b из R определено их произведение: a*b=ceR (замкнутость операции умножения).

3)R.3. Для любых трех элементов ,a,b и c из R выполняется ассоциативный закон, т.е. a(bc)=(ab)c и a+(b+c)=(a+b)+c

4)R.4. Для любых трех элементов a,b , и c из R выполняется дистрибутивный закон, т.е. справедливы равенства: a(b+c)=ab+ac и (b+c)a=ba+ca. Все целые положительные и отрицательные числа и нуль образуют коммутативное кольцо с единицей относительно обычных операций сложения и умножения. Легко убедиться, что полная система вычетов по модулю также образует коммутативное кольцо с единицей относительно операций сложения и умножения по модулю . Определение поля Полем называют коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент (т.е. обратный по умножению). Другими словами, полем называют множество, которое является аддитивной абелевой группой; ненулевые же элементы этого множества образуют мультипликативную абелевую группу, и выполняется закон дистрибутивности. По аналогии с группами число элементов поля называется порядком поля. Поля, порядки которых конечны, называются конечными полями. Конечные поля имеют наибольшее значение в теории кодирования. Отметим некоторые свойства полей, вытекающие из их определения.

1. Для любого элемента поля a*0=0*a.

2. Для ненулевых элементов a и b поля a*b/=0.

3. Для любых элементов a и b поля a*b/=0.

4. Если a*b=a*c и a/=0, то b=c. Множество всех действительных чисел образует поле. Существует также поле комплексных чисел, поле рациональных чисел, но не может быть поля целых чисел, поскольку обратные элементы по умножению, кроме единицы, не являлись бы целыми. Множество чисел(0,1,2,…,p-1) , где p – простое число, образует конечное поле, в котором сложение и умножение производятся по модулю p. При p=2 имеем простейшее двоичное поле, состоящее из двух элементов 0 и 1. Эти элементы являются соответственно единичными элементами относительно операций сложения и умножения по модулю 2, которые определяются правилами: 0+0=1+1=0 ;1+0=0+1=1 ;0*0=0 0*1=1*0=0;1*1=1 ; . Так как (-1)=1 , то операции сложения и вычитания в двоичном поле совпадают, а так как 1 ст (-1)=1 , также совпадают операции умножения и деления. Это поле находит широкое применение в теории и технике помехоустойчивого кодирования.

55.Группыбопределение. . Основная алгебраическая структура: группа.Определение. Группой называется множество G, на котором определена одна внутренняя бинарная алгебраическая операция *, которая подчиняется трем законам (аксиомы группы).1. Закон ассоциативности: \/x,y,zeG ,x(y*z)=(x*y)*z 2. Существование нейтрального элемента:Эe e G:\/x e Gx*e=e*x 3. Существование симметричного элемента:\/xe G Эx’e G:x*x’=x’*x=e . Другими словами, группой называется множество с одной ассоциативной внутренней алгебраической операцией, обладающее нейтральным элементом и симметричное относительно этой операции.Определение. Если группа G подчиняется еще одному закону: 4.Закон коммутативности:\/x,y e G ,x*y=y*x , тогда группа G называется коммутативной.

1.Множество целых чисел относительно сложения (Z,+).2. Множество рациональных чисел относительно сложения (R,+)

.3. Множество действительных чисел относительно сложения (R,+).4. Обозначим Q*=Q\{0} и R*=R\{0} – множества рациональных и действительных чисел без нулевого элемента (без нуля). Тогда оба множества относительно умножения являются коммутативными группами. 5. Обозначим через V множество всех векторов как направленных отрезков. Известно, что векторы можно складывать по правилу параллелограмма (или по правилу треугольника). Эта операция – сложения векторов является внутренней бинарной алгебраической операцией, т.к. для каждой упорядоченной пары векторов (->a,->b)eV*2 определена их сумма ->a+->beV.

Теорема. В группе выполняется закон сокращения.

Доказательство. Пусть (G,*) – группа и a,b,c eG. Пусть a*b=a*c и е – единичный элемент группы. Тогда b=e*b=(a’*a)b=a’*(a*c)=(a’*a)*c=e*c=c. Здесь a’ – элемент группы, симметричный элементу а. Аналогично доказывается сокращение справа. Теорема доказана.

56.Конечные поля вычетов. Поле называется конечным, если оно состоит из конечного количества элементов. Для любого простого числа р и любого натурального числа n существует поле, состоящее из р^n элементов. В данном параграфе мы рассмотрим поля, состоящие из р элементов, в п.13 - произвольные конечные поля.Конечное поле или— поле, состоящее из конечного числа элементов.Конечное поле обычно обозначается Fq или GF(q), где q — число элементов поля.Простейшим примером конечного поля является Zp — кольцо вычетов по модулю простого числа p.,Свойства:

*Характеристика конечного поля является простым числом.

*Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: IFqI=q=p ст n.

*Для каждого простого числа p и натурального n существует конечное поле из q = pn элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена x ст q-x e Fp[x]. *Мультипликативная группа Fq* конечного поля Fq является циклической группой порядка q − 1. *В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент α, порядок которого равен q − 1, то есть α ст q − 1 = 1 и @ ст i/=1, для 0 < i < q − 1. *Любойненулевой элемент β является некоторой степенью примитивного элемента: B=@ ст i, ie {0,1,…,q-2}. *Поле Fp ст т содержит в себе в качестве подполя Fp ст k тогда и только тогда, когда k является делителем n.

57.Характеристика поля. По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями + (аддитивная операция, или сложение) и (мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей 1/=0, все ненулевые элементы которого обратимы.Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями + (сложение) и (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

*Характеристика поля — наименьшее положительное целое число n такое, что сумма n копий единицы равна нулю:n*1=0 ; *Если такого числа не существует, то характеристика равна 0 по определению.;*Подполем поля k называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в k.;*Расширение поля — поле, содержащее данное поле в качестве подполя. *Поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.;* Простое поле — поле, не содержащее собственных подполей. Свойства:*Характеристика поля всегда 0 или простое число. ;*Поле характеристики 0 содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел Q.;*Поле простой характеристики p содержит подполе, изоморфное полю вычетов Zp .;*Количество элементов в конечном поле всегда равно pn — степени простого числа. ;*При этом для любого числа вида pn существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из pn элементов, обычно обозначаемое Fp ст n.;*Любой ненулевой гомоморфизм полей является вложением.;*В поле нет делителей нуля.

58.Поля Q,R,C. (Q, +, *,=) и (R, +,*,=) ясвляются полями рациональных и действительных чисел.

Т2. Характеристика любого поля либо нуль, либо простое число.

Т3. 1) Всякое поле характеристики нуль содержит в качестве подполя поле рациональных чисел.

2) Всякое поле простой характеристики p содержит в качестве подполя поле вычетов Zp