1 Комплексные числа. Свойства алгебраических операций над к.ч.Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат. Условимся обозначать точки плоскости буквами α, β, γ, ... и записывать точку α с абсциссой а и ординатой b через (а, b), т. е., несколько отступая от того, что принято в аналитической геометрии, писать α = (а, b). Если даны точки α = (а, b) и β = (c, d), то суммой этих точек мы будем называть точку с абсциссой а + с и ординатой b + d, т. е. (a,b) + (c, d) = (a + c, b + d); произведением точек α = (а, b) и β = (c, d) мы будем называть точку с абсциссой ас - bd и ординатой ad + bc, т. е. (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc). Эти операции обладают всеми основными свойствами, какими обладают операции в системе действительных чисел или в системе рациональных чисел: они обе коммутативны и ассоциативны, связаны законом дистрибутивности и для них существуют обратные операции - вычитание и деление (кроме деления на нуль). Таким образом, мы построили систему чисел, изображаемых точками плоскости. Эта система чисел называется системой комплексных чисел. Система комплексных чисел является расширением системы действительных чисел. Нам нужно теперь показать, что среди комплексных чисел содержится корень уравнения x^2 + 1 = 0, т. е. такое число, квадрат которого равен действительному числу —1. Это будет, например, точка (0, 1), т. е. точка, лежащая на оси ординат на расстоянии 1 вверх от начала координат. Действительно получаем: (0,1)(0, 1) = (-1,0) = -1. Условимся обозначать эту точку буквой i, так что i^2 = -1. Для построенных нами комплексных чисел может быть получена их обычная запись. Если (а, b) — произвольная точка, то ввиду равенства (а, b) = (а, 0) + (0, b) получаем: (а, b) = а + bi т. е. мы действительно приходим к обычной записи комплексных чисел; произведение и сумму в выражении а а + bi следует понимать, конечно, в смысле операций, определенных в построенной нами системе комплексных чисел. В записи комплексного числа α в виде α = а а + bi число а называется действительной частью числа α, а bi — его мнимой частью. Плоскость, точки которой отождествлены с комплексными числами по способу, изложенному выше, будет называться комплексной плоскостью. Ось абсцисс этой плоскости называется действительной осью, так как ее точки изображают действительные числа; соответственно ось ординат комплексной плоскости называется мнимой осью. Сложение, умножение, вычитание и деление комплексных чисел, записанных в виде а + bi, производятся следующим образом: (а + bi) + (с + di) = (а + с) + (b + d)i; (а + bi) – (с + di) = (а - с) + (b - d)i; (а + bi) (с + di) = (ас — bd) + (ad + bc)i; (a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)*i. Применяя связь между декартовыми и полярными координатами точки (при любом расположении точек )на плоскости, получим для произвольного комплексного числа: α = a + bi = rcos φ + (r sin φ)i, или α = r (cos φ + i sin φ), где r = |α|, φ = arg α (причем аргумент φ определен, конечно, лишь с точностью до слагаемых, кратных 2π. определен, Эта запись числа α называется его тригонометрической формой. Если число α задано в тригонометрической форме, то имеет место следующая формула, называемая формулой Муавра: [r (cos φ + i sin φ)]n = rn (cosnφ + i sin nφ), при целом положительном n, т. е. при возведении комплексного числа в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени. Данная формула верна и для целых отрицательных показателей.Пусть нужно извлечь корень n-й степени из числа а α = r (cos φ + i sin φ). По формуле Муавра будем иметь Пусть нужно извлечь корень n-й степени из числа а α = r (cos φ + i sin φ). По формуле Муавра будем иметь : N\/r(cosф+sinф)=N\/r[cos(ф+2Пk)/n+isin(ф+2Пk)/n] , k=0,n-1.

2. Сопряженные числа. Ко́мпле́ксные чи́сла— расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается C . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица. Комплексные числа вида z = a + bi и z=a-bi i =\/-1, z2 - 2az +a2 + b2 = 0, с действительными коэффициентами. Сумма и произведение С. ч. действительны. При замене каждого слагаемого (соответственно сомножителя) сопряжённым с ним числом получается число, сопряжённое с суммой (соответственно с произведением), т. е. >z1+ >z2=__z1+z2 , z - является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то и сопряжённое с ним число является корнем того же многочлена и имеет ту же кратность, что и z.Пары сопряжённых чисел появляются вполне естественным образом, когда мы решаем квадратное уравнение, а корень из дискриминанта не извлекается: скажем, уравнение λ2 – λ – 1 = 0 имеет пару «сопряжённых» корней: λ1 =1 – √5/2 и λ2 = 1 + √5/2.Геометрическое представление сопряжённых чисел.Если комплексное число z = x + iy, то число >z=x-iy называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z * ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства: 1)>z=z(сопряжённое к сопряжённому есть исходное).2)z*>z=IzI^2. 3)__z1+-z=>z1+->z2. 4)__z1*z2=>z1*>z2. 5)__z1/z2=>z1/>z2. Обобщение:_p(z)=p(>z) , где p(z) — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.

3. Извлечение квадратного корня из к.ч. Если число α задано в тригонометрической форме, то имеет место следующая формула, называемая формулой Муавра: [r (cos φ + i sin φ)]n = rn (cos nφ+i sin nφ), при целом положительном n, т. е. при возведении комплексного числа в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени. Данная формула верна и для целых отрицательных показателей Пусть нужно извлечь корень n-й степени из числа а α =r(cos φ + I sinφ). По формуле Муавра будем иметь : N\/r(cosф+sinф)=N\/r[cos(ф+2Пk)/n+isin(ф+2Пk)/n], k=0,n-1 Таким образом, извлечение корня n-й степени из комплексного числа α всегда возможно и дает n различных значений. Все значения корня n-й степени расположены на окружности радиуса с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей. Все корни n-й степени из единицы даются формулой.На комплексной плоскости корни n-й степени из единицы расположены на окружности единичного круга и делят ее на n равных дуг; одной из точек деления служит число 1. Отсюда следует, что те из корней n-й степени из единицы, которые не являются действительными, расположены симметрично относительно действительной оси, т. е. попарно сопряжены.

4. Тригонометрическая форма комплексного числа. Число r является неотрицательным действительным числом, причем оно равно нулю лишь для точки 0. Для а, лежащего на действительной оси, т. е.являющегося действительным числом, число r будет абсолютной величиной α, поэтому и для любого комплексного числа α его иногда называют абсолютной величиной числа α; чаще, впрочем, число r называют модулем числа α. Обозначается оно через |α|. Угол φ будет называться аргументом числа α и обозначаться arg α. Угол φ может принимать любые действительные значения, как положительные, так и отрицательные, причем жительные углы должны отсчитываться против часовой стрелки, однако, если углы отличаются друг от друга на 2π или число, кратное 2π, то соответствующие им точки плоскости совпадают. Таким образом аргумент комплексного, числа α имеет бесконечномного значений, отличающихся друг от друга на целые кратные числа 2π .Применяя связь между декартовыми и полярными координатами точки (при любом расположении точек )на плоскости, получим для произвольного комплексного числа: α = a + bi = r cos φ + (r sin φ)i, или α = r (cos φ + i sin φ). где r = |α|, φ = arg α (причем аргумент φ определен, конечно, лишь с точностью до слагаемых, кратных 2π. определен, Эта запись числа α называется его тригонометрической формой. Если число α задано в тригонометрической форме, то имеет место следующая формула, называемая формулой Муавра: [r (cos φ + i sin φ)]n = rn (cos nφ + i sin nφ),

5. Извлечение корня из комплексного числа. Пусть нужно извлечь корень n-й степени из числа а α = r (cos φ + i sin φ). По формуле Муавра будем иметь : N\/r(cosф+sinф)=N\/r[cos(ф+2Пk)/n+isin(ф+2Пk)/n] , k=0,n-1.Таким образом, извлечение корня n-й степени из комплексного числа α всегда возможно и дает n различных значений. Все значения корня n-й степени расположены на окружности радиуса с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей. Все корни n-й степени из единицы даются формулой :N\/1=cos(2Пk/n)+isin(2Пk/n), k=0, __n-1.На комплексной плоскости корни n-й степени из единицы расположены на окружности единичного круга и делят ее на n равных дуг; одной из точек деления служит число 1. Отсюда следует, что те из корней n-й степени из единицы, которые не являются действительными, расположены симметрично относительно действительной оси, т. е. попарно сопряжены.

6. Корни из единицы. Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена xN-1(n>=1). Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равна 1.

Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:1=cos 0+isin 0. Тогда по формуле Муавра, получим: uk=cos 2Пk/n+I sin 2Пk/n , k=0,1,…n-1. Здесь uk — корни из единицы. Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме: uk=e ст 2Пki/n.,k=0,1,..,n-1.

Геометрические свойства

Модуль каждого корня равен 1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица.

Если uk — корень из единицы, то сопряжённое к нему число _uk- тоже корень из единицы.

Пусть M — произвольная точка единичной окружности. Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней из единицы равна 2n. Алгебраические свойства

Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.

Корни из единицы образуют по умножению группу. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы.

Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов Zn. Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент uk, индекс k которого взаимно прост с n.

7. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которая записывается в следующем общем виде: {a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1, a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………..asx1+as2x2+…+asnxn=b1}. Коэффициенты при неизвестных составляют прямоугольную таблицу: {a11 a12 … a1n , a21 a22 … a2n …… as1 as2 …asn); называемую матрицей системы, состоящую из s строк и n столбцов; числа аij называю

элементами матрицы.

Решением системы линейных уравнений называется такая система n чисел k1, k2, …,kn, что каждое из уравнений системы обращается в тождество после замены в нем неизвестных xi,- соответствующими числами kj, i=(1, 2, ..., n).

Система линейных уравнений может не иметь ни одного решения и тогда она

называется несовместной. Если же система линейных уравнений обладает решениями, то

она называется совместной. Совместная система называется определенной, если она

обладает одним-единственным решением ( лишь такие системы допускаются к

рассмотрению в элементарной алгебре), и неопределенной, если решений больше чем одно

(их будет в этом случае даже бесконечно много).

Две системы уравнений эквивалентны, если они или обе несовместны, или же обе

совместны и обладают одними и теми же решениями.

Наиболее удобным для практического разыскания решений систем с числовыми

коэффициентами является метод последовательного исключения неизвестных или метод

Гаусса.

Пусть дана произвольная система линейных уравнений: :{a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1, a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………..asx1+as2x2+…+asnxn=b1}.

Положим, для определенности, что коэффициент а11 ≠0, хотя на самом деле он может, конечно, оказаться равным нулю, и мы должны будем начать с какого-либо другого, отличного от нуля, коэффициента из первого уравнения системы. Преобразуем теперь систему (*), исключая неизвестное х1 из всех уравнений, кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим на число а21 \ а11 и вычтем из

соответствующих частей второго уравнения, затем обе части первого уравнения, умноженные на число а31 \ а11 вычтем из соответствующих частей третьего уравнения и т.д.

Мы придем этим путем к новой системе из s линейных уравнений с n

неизвестными: {a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1, a’22x2+…+a’2nxn=b’2 , …..a’s2x2+…+a’snxn=b’s.}

8. Перестановки. Лемма о транспозициях. В комбинаторике перестано́вка — это упорядоченный набор чисел 1,2,…,n, бычно трактуемый как биекция на множестве {1,2,..,n}, которая числу i ставит соответствие i-й элемент из набора. Число n при этом называется порядком перестановки. В теории групп под перестановкой (подстановкой) произвольного множества подразумевается биекция этого множества на себя. Число всех перестановок порядка n равно числу размещений из n по n, т.е. факториалу:Pn=Ann=n!=1*2*..*n.

Композиция определяет операцию произведения на перестановках одного порядка: (П*б)(k)=П(б(k)).

Относительно этой операции множество перестановок порядка n образует группу, которую называют симметрической и обычно обозначают Sn. Любая группа является подгруппой группы перестановок множества элементов этой группы. При этом каждый элемент aeG.Cопоставляется с перестановкой πa, задаваемой тождеством Пa(g)=a o g, где g — произвольный элемент группы G, а o- групповая операция.

Носитель перестановки: П:X->X- это подмножество множества X, определяемое как

supp(П)={xeX I П(x)/=x}. Неподвижной точкой перестановки π является всякая неподвижная точка отображения: П:X->X, то есть элемент множества {xeX I П(x)=x}.Множество всех неподвижных точек перестановки π является дополнением её носителя в X. Инверсией в перестановке π порядка n называется всякая пара индексов i,j такая, что 1<=i<j<=n и π(i) > π(j). Чётность числа инверсий в перестановке определяет чётность перестановки. Знак перестановки определяется как +1 для чётной перестановки и -1 для нечётной, что выражается формулой sgn(σ) = ( − 1) стN(σ), где N(σ) — количество инверсий в перестановке σ. Знак перестановки σ может быть также определен как sgn(σ) = ( − 1) ст m, где m — количество транспозиций в разложении σ в произведение транспозиций. Несмотря на то, что такое разложение не единственно, чётность количества транспозиций во всех разложениях σ одна и та же, и поэтому знак перестановки корректно определён.

Определение Перестановка называется четной, если она имеет четное число

инверсий (т. е. sign (α1, α2, . . . , αn) = 1) и нечетной если нечетное (т. е. sign

(α , α , . . . , α ) = −1).

9. Определители $n$-го порядка. Определителем п-го порядка, соответствующим матрице А, называется алгебраическая сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус — в противоположном случае.

Для записи определителя n-го порядка, соответствующего матрице A, мы будем,

употреблять символ: Ia11 a12 … a1n, a21 a22 … a2n, …….. an1 an2 …annI .

Определитель n-го порядка обладает следующими свойствами:

1) Определитель не меняется при транспонировании.

2) Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3) Если один определитель получен из другого перестановкой двух строк, то все члены первого определителя будут членами и во втором, но с обратными знаками, т. е. от перестановки двух строк определитель лишь меняет знак.

4) Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5) Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k,

то сам определитель умножится на k.

6) Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7) Если все элементы i-й строки, определителя n-го порядка представлены в виде, суммы двух слагаемых: aij = bj + cj ,то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, — такие же, как и в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом - из элементов cj.

8) Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то

определитель равен нулю.

9) Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответственные элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Так как число k может быть и отрицательным, то определитель не меняется и при вычитании из одной его строки другой строки, умноженной на некоторое число. Вообще, определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется любая линейная комбинация других строк.

10. Признаки равенства определителя нулю.

Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то

определитель равен нулю. Определитель имеющий нулевую строку равен нулю.

Рассмотрим матрицу A, определитель которой равен нулю: A(123,456,789), detAI(123,456,789)I=0

Столбцы матрицы линейно зависимы, 2-й столбец линейно выражается через 1-й и 3-й:

A(1)=(1,4,7), A(2)=(2,5,8),A(3)=(3,6,9);

1/2A(1)+1/2A(3)=1/2(1,4,7)+1/2(3,6,9)=(1/2,4/2,7/2)+(3/2,6/2,9/2)=(1/2+3/2,4/2+6/2,7/2+9/2)=(2,5,8)=A(2).