§8. Производная. Правила и формулы дифференцирования.
Приращением функции
называется разность
,
где
– произвольное малое приращение
аргумента
.
Производной
функции
в
точке
называется предел отношения приращения
функции
к приращению аргумента
при
и обозначается одним из следующих
символов:
Таким образом, по определению
или 
.
Если указанный
предел существует, то функцию
называют
дифференцируемой
в точке
,
а операцию нахождения ее производной
-
дифференцированием.
Правила дифференцирования.
Если С – постоянная,
– некоторые дифференцируемые функции,
то:
-
, -
-
, -
-
-
в частности,
,
-
если
,
т.е.
-
сложная функция, составленная из
дифференцируемых функций, то
.
На основании определения производной и правил дифференцирования составляется таблица производных основных элементарных функций:
-
,
. -
, в
частности 
. -
,
в частности 
. -
;
;
;
.
5.
;
;
;
.
-
;
;
,
.
Пример 1.
Найти производную функции по определению:
а)
; б)
.
Решение.
а) При любом
приращении
имеем:
Т.к.
то
.
б)
.
Пример 2.
Доказать, что
функция
в точке
недифференцируема.
Решение.
При любом приращении
найдем приращение функции
в точке
:
Из определения производной следует, что
Так как односторонние
пределы не совпадают, то
не существует. Это и означает, что в
точке
данная функция не имеет производной,
т.е. недифференцируема .
Пример 3.
Применяя правила и формулы дифференцирования, найти производные следующих функций:
а)
, б)
,
в)
, г)
,
д)
.
Решение.
а) Перепишем заданную функцию в виде
(при этом используются
формулы
и
).
Тогда по правилам дифференцирования суммы, вынесения постоянного множителя за знак производной и формуле производной степенной функции получим:
.
б) Преобразуем заданную функцию, раскрыв скобки в числителе и поделив почленно на знаменатель:
.
в) По правилу дифференцирования произведения и таблице производных находим, что
.
г) По правилу дифференцирования суммы, частного, произведения и таблице производных находим, что
д) Упростим заданную функцию, пользуясь свойствами логарифмов:
.
Пример 4.
Применяя правила и формулы дифференцирования, найти производные следующих сложных функций:
а)
, б)
, в)
,
г)
, д)
,
е)
.
Решение.
а) Данная функция
является композицией двух функций
и
.
По правилу дифференцирования сложной
функции получаем:
.
б) Данная функция
является композицией трех функций
,
и
.
Тогда по правилу дифференцирования
сложной функции получаем:
.
в)
.
г) Сначала применяем правило дифференцирования произведения, а затем - дифференцирования сложной функции:
д) Сначала применяем правило дифференцирования сложной функции, а затем - дифференцирования частного:
.
е)
Пример 5.
Найти значение
,
если
а)
, б)
.
Решение.
а) Упростим функцию, пользуясь свойствами логарифмов
;
при
получим
б) Найдем производную
.
При
получим
.
Логарифмической
производной функции
называется
производная от логарифма этой функции,
т.е.
,
откуда находят
.
Последовательное
применение логарифмирования и
дифференцирования функций называется
логарифмическим
дифференцированием.
В некоторых случаях оно значительно
упрощает нахождение производной.
Логарифмическое дифференцирование
полезно применять, когда заданная
функция содержит логарифмирующиеся
операции (умножение, деление, возведение
в степень) и, в частности, для нахождения
производной показательно-степенной
функции
Пример 6.
Используя
логарифмическое дифференцирование,
найти
если
а)
, б)
,
в)
, г)
.
Решение.
а) Прологарифмируем функцию:
.
Найдем логарифмическую производную
.
Так как
,
то
.
б) Прологарифмируем функцию:
.
Найдем логарифмическую производную
.
Тогда
.
в) Прологарифмируем
функцию и продифференцируем по
,
имея в виду зависимость
от
:
В дальнейшем для дифференцирования показательно-степенных функций можно использовать эту формулу.
г) Здесь
.
Найдем
,
.
Тогда по формуле, выведенной в предыдущем примере, получим
.
Самостоятельная работа.
Вариант 1.
Найти производные функций:
а)
, б)
,
в)
, г)
.
Вариант 2.
Найти производные функций:
а)
, б)
,
в)
, г)
.
Вариант 3.
Найти производные функций:
а)
, б)
,
в)
, г)
.
Ответы.
Вариант 1. а)
, б)
,
в)
, г)
.
Вариант 2. а)
, б)
,
в)
, г)
.
Вариант 3. а)
, б)
,
в)
, г)
.
Дополнительные упражнения.
Найти производные функций:
1)
, 2)
, 3)
,
4)
, 5)
, 6)
,
7)
, 8)
.
Ответы.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
.