Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

практикум по пределам и производным.doc

Скачиваний:

Добавлен:

21.12.2018

Размер:

3.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

§2. Основные свойства функций. Четность

Функцию , определенную на симметричном относительно нуля множестве Х, называют четной, если для любого верно равенство , и называют нечетной, если для любого верно равенство

Если функция не является ни четной, ни нечетной, то ее называют функцией общего вида, или говорят, что функция свойством четности не обладает.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Периодичность

Число называют периодом функции f(x), если для любого выполнены условия и .

Функцию, имеющую период называют периодической.

Если Т – период функции, то для любого число nT также является периодом этой функции.

Если функция имеет наименьший положительный период, то он берется в качестве основного.

График периодической функции с периодом Т функции при сдвиге вдоль оси абсцисс на Т переходит в себя.

Тригонометрические функции и - периодические с основным периодом T = , а и - с основным периодом T = .

Пример 1.

Исследовать функции на четность: а); б);

в) при

Решение.

а) Функция определена при , т.е. на множестве, симметричном относительно начала координат и .

Значит, – четная функция.

б) Функция определена при , т.е. на промежутке, симметричном относительно 0;

Значит, - нечетная функция.

в) Хотя формально , но эта функция не обладает свойством четности, т.к. ее область определения несимметрична относительно начала координат.

Пример 2.

Определить, какие из функций являются периодическими, указать их наименьший период: а), б), в) ,

г) , д) , е).

Решение.

а) периодическая, , т.к. у функции основной период , то , откуда ;

б) периодическая, , т.к. у функции основной период , то , откуда ;

в) непериодическая;

г) периодическая, ;

д) непериодическая;

е) периодическая, .

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

1. Исследовать функции на четность: а); б);

в) .

Найти основной период функции: .

Вариант 2.

Исследовать функции на четность: а);

б); в).

Найти основной период функции:

Вариант 3.

Исследовать функции на четность:

а); б); в).

Найти основной период функции: .

Ответы.

Вариант 1: 1а)четная; б)нечетная; в) общего вида; 2) ;

Вариант 2: 1а)нечетная; б) четная; в) общего вида; 2);

Вариант 3: 1а) четная; б)нечетная; в) общего вида; 2) .

Дополнительные упражнения.

Найти область определения функции: а);

б); в); г);

д) .

Исследовать функции на четность: а);

б); в) ; г).

Найти основные периоды функций: а); б) ;

в); г).

Ответы.

1.а); б); в);

г); д) .

2.а) четная; б) общего вида; в) четная; г) четная.

3. а) ; б) ; в) ; г) .

§3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Число А называется пределом функции при

(в точке ), если для любого , сколь малым бы оно ни было, существует число , зависящее от , такое, что при , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство .

Если А – предел функции при , то пишут:

или при .

В самой точке функция может и не существовать, т.е. значение функции может быть не определено.

Аналогично запись означает, что

для любого числа , сколь малым бы оно ни было, существует число , зависящее от , такое, что при всех справедливо неравенство .

Говорят, что предел функции в точке равен бесконечности, и пишут , если

для любого числа , сколь большим бы оно ни было, существует число , зависящее от M, такое, что при всех x, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Справедливы следующие основные теоремы о конечных пределах.

Пусть существуют и , тогда

, где
, если

(Все теоремы верны и при ).

Если некоторый предел не может быть вычислен ни по одной из о конечных пределах, ни по теоремам о бесконечно малых и о бесконечно больших функциях, то говорят, что этот предел имеет неопределенность, и указывает ее вид.

Основные виды неопределенностей:

,,.

Чтобы вычислить предел, содержащий неопределенность, нужно эту неопределенность раскрыть, то есть преобразовать функцию, стоящую под пределом, так, чтобы неопределенность исчезла.

При вычислении пределов главная задача состоит в том, чтобы научиться раскрывать неопределенности.

Пример 1.

Доказать по определению предела, что .

Решение.

Нам надо доказать, что для любого числа , сколь малым бы оно ни было, существует такое число , что из неравенства следует неравенство .

Зададим и составим неравенство

Тогда если взять , то для всех значений , удовлетворяющих условию , будет выполняться неравенство . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Пример 2.

Найти

Решение.

Воспользуемся теоремами о конечных пределах и получим, что .

Правило 1

Eсли предел при рациональной дроби имеет неопределенность , то нужно числитель и знаменатель дроби разложить на множители так, чтобы выделить множитель, который стремится к нулю при , и сократить на него.

Пример 3.

Найти .

Решение.

Т.к. пределы числителя и знаменателя равны 0 , применить теорему о пределе частного нельзя, имеем неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который обращает в нуль числитель и знаменатель. Получим

Пример 4.

Найти

Решение.

Пример 5.

Найти

Решение.

Имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю , чтобы, получив разность квадратов в числителе и разложив на множители знаменатель, сократить на :

Пример 6.

Найти .

Решение.

Имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения (), чтобы получить в знаменателе разность кубов. Далее выделим в числителе и знаменателе множитель и сократим на него:

Правило 2

Чтобы раскрыть неопределенность вида , образованную при делением многочленов или иррациональных выражений, нужно вынести за скобки в числителе и знаменателе старшие степени переменной x и сократить дробь под знаком предела.

Пример 7.

Найти .

Решение.

Т.к. числитель и знаменатель дроби неограниченно растут при , то имеем неопределенность .Для ее раскрытия вынесем за скобки в числителе и знаменателе старшую степень переменной и сократим на нее:

Здесь учтено, что и при .

Пример 8.

Найти .

Решение.

Аналогично рассмотренному в предыдущем примере:

Пример 9.

Найти .

Решение.

Пример 10. Обобщение результатов предыдущих примеров.

Найти , где n и m – натуральные числа, .

Решение.

Имеем неопределенность . Вынесем за скобки в числителе , в знаменателе и получим:

Предел второго множителя равен . Предел первого множителя зависит от соотношения между числами и :

если , то и, следовательно, общий предел бесконечен;

если , то и общий предел ;

если , то и общий предел равен нулю.

Итак, получен результат, которым можно пользоваться для раскрытия неопределенностей , образованных при делением целых многочленов:

Например,

так как n = m = 3;

так как n =5, m = 4, то есть n > m;

так как n =5, m = 6, то есть n < m.

Правило 3.

Случай, когда при или функция представляет разность двух положительных бесконечно больших величин, т.е. неопределенность , можно привести к неопределенности или путем преобразования функции к дроби.

Пример 11.

Найти .

Решение.

Так как знаменатель каждой дроби есть величина бесконечно малая при , а числители есть числа, не равные нулю, то каждая из дробей является бесконечно большой величиной, т.е. имеем неопределенность . Чтобы раскрыть ее, приведем дроби к общему знаменателю:

Пример 12.

Найти .

Решение.

Имеем неопределенность . Чтобы раскрыть ее, умножим и разделим выражение на . В результате получим:

Т.к. , то дальнейшее решение надо проводить отдельно для и :

Пример 13.

Найти .

Решение.

При степень числителя больше степени знаменателя у обеих дробей /смотри пример 10 / ,значит имеем неопределенность . Чтобы раскрыть ее , приведем дроби к общему знаменателю: