- •§1. Функция, основные понятия.
- •§2. Основные свойства функций. Четность
- •Периодичность
- •§3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей.
- •§4. Сравнение бесконечно малых функций.
- •Говорят, что бесконечно малая a(X) имеет порядок k по сравнению с бесконечно малой b(X) при , если имеют одинаковый порядок малости бесконечно малые a(X) и (b (X))k, то есть
- •Дополнительные упражнения
- •Ответы.
- •§5. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции.
- •§6. Односторонние пределы.
- •§7. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва.
- •§8. Производная. Правила и формулы дифференцирования.
- •§9. Дифференциал функции, его применение.
- •§10. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.
- •§11.Геометрический и механический смысл производной.
- •Пример 3
- •Из уравнения первой параболы получаем
- •Дополнительные упражнения
- •§12. Производные высших порядков.
§6. Односторонние пределы.
Число А называется левосторонним пределом функции f(x) в точке x = a, если , то есть если , что , оставаясь меньше ( слева).
Обозначения: .
Число А называется правосторонним пределом функции f(x) в точке x = a, если , то есть если , что , оставаясь меньше ( справа).
Обозначения: .
Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке называются ее односторонними пределами.
Для существования обычного необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в точке существовали и были равны, то есть чтобы .
Пример 1.
Найти односторонние пределы функции
в точках и .
Сделать вывод о существовании предела функции в этих точках .
Решение.
При слева ,
при справа ,
следовательно предел функции при не существует.
При слева ,
при справа ,
односторонние пределы при равны между собой, значит существует предел данной функции .
Пример 2.
Найти односторонние пределы функции при .
Решение.
Если (слева), то и , следовательно,
Если (справа), то и , тогда
Ответ: ,
Дополнительные упражнения.
Найти односторонние пределы функции в точке . Сделать вывод о существовании обычного предела :
а) ;
б) ;
в) .
Ответы.
а) , , ;
б) , не существует;
в) , не существует.
§7. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва.
Функция называется непрерывной при ( в точке ), если выполняются следующие условия:
-
функция определена в точке и в ее некоторой окрестности;
-
существует конечный предел функции в точке ;
-
этот предел равен значению функции в точке , т.е.
.
При этом точка называется точкой непрерывности данной функции.
Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Точка называется точкой разрыва функции, если эта функция определена в некоторой окрестности точки , но не выполнено хотя бы одно из трех условий непрерывности.
Классификация точек разрыва:
-
Если существует , но или не определена в точке или , то называют точкой устранимого разрыва или точкой разрыва типа выколотой точки.
-
Если существуют конечные односторонние пределы, но они не равны , т.е. , то называют точкой разрыва типа скачка, а разность называется скачком функции в точке .
Разрывы типа выколотой точки и типа скачка относятся к конечным разрывам или к разрывам I рода.
-
Если в точке разрыва не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределов, то называют точкой разрыва 2-го рода.
Из свойств непрерывных функций:
-
Все основные элементарные функции: показательная, логарифмическая, степенная, тригонометрические, обратные тригонометрические непрерывны на своих областях определения.
-
Все элементарные функции (они получаются из основных элементарных функций арифметическими операциями и суперпозициями) также являются непрерывными во всех точках своей области определения.
Пример 1.
Доказать, что функция непрерывна при всех .
Решение.
Выберем произвольную точку и покажем, что для нее выполняются все три условия, приведенные в определении непрерывности функции в точке:
1) т.к. функция определена на всей числовой оси, то точка со своей окрестностью входит в область определения;
2) применяя теоремы о пределах суммы и произведения, найдем
;
3) .
Получили, что - точка непрерывности функции, а в силу произвольности выбора данная функция непрерывна при всех .
Пример 2.
Дана функция .
При каких значениях А функция будет непрерывной в точке ?
Решение.
В точке и ее окрестности функция определена, .
Вычислим .
Тогда данная функция будет непрерывной в точке , если т.е. если А = 6.
Ответ: А = 6.
Пример 3.
Найти область непрерывности функции и ее точки разрыва.
Решение.
Данная функция является дробно-рациональной и относится к элементарным функциям. Она определена и непрерывна при всех значениях переменной, когда знаменатель не обращается в ноль, т.е. когда , то есть при .
Рассмотрим точку , где функция не определена.
Вычислим , следовательно, – точка разрыва 2-го рода.
Ответ: функция f(x) непрерывна при ,
имеет бесконечный разрыв в точке .
Пример 4.
Дана функция .
Найти промежутки непрерывности и точки разрыва функции. Построить ее график.
Решение.
Функция определена при . Она является непрерывной на интервалах , и , на которых она задана непрерывными основными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках стыковки указанных интервалов, то есть при и .
Для точки имеем:
,
Т.к. односторонние пределы конечны и не равны между собой, то в точке функция имеет разрыв 1-го рода.
Для точки находим:
.
.
Следовательно, в точке функция непрерывна.
График функции:
Ответ: непрерывна при , в точке имеет разрыв типа скачка.
Пример 5.
Исследовать на непрерывность функцию в точках и . Сделать схематический чертеж.
Решение.
Для точки имеем:
.
Следовательно, в точке функция непрерывна.
Для точки имеем:
не существует.
Следовательно, точка – точка разрыва 2-го рода.
Ответ: – точка непрерывности;
– точка разрыва 2-го рода.
Самостоятельная работа.
Вариант 1.
Исследовать на непрерывность функцию в точках и . Построить график.
Вариант 2.
Исследовать на непрерывность функцию в точках и . Сделать схематический чертеж .
Вариант 3.
Исследовать на непрерывность функцию .
Построить график.
Ответы.
Вариант 1.
- точка непрерывности, - точка устранимого разрыва.
График:
Вариант 2.
- точка непрерывности, - точка разрыва 2-го рода.
Чертеж:
Вариант 3.
- точка разрыва 2-го рода , - точка разрыва типа скачка.
График:
Дополнительные упражнения.
-
Пусть
При каком выборе числа «а» функция будет непрерывной? Построить ее график.
-
Охарактеризовать непрерывность функций и .
Построить их графики.
-
Охарактеризовать непрерывность функций и . Построить их графики.
-
Функция не определена при . Какой разрыв имеет функция в точке ?
-
Описать непрерывность и построить графики функций , где - это целая часть , она равна наибольшему целому числу, не превосходящему .
Ответы.
1. .
2. непрерывна при , в точке имеет разрыв II рода;
непрерывна при , в точке имеет разрыв II рода.
3. непрерывна при , в точке имеет устранимый разрыв.
непрерывна при , в точке имеет разрыв II рода.
-
Разрыв типа скачка.
-
непрерывна при ; имеет разрывы типа
скачка во всех целочисленных точках ;
непрерывна при ; имеет разрывы II рода во всех целочисленных точках .