- •§1. Функция, основные понятия.
- •§2. Основные свойства функций. Четность
- •Периодичность
- •§3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей.
- •§4. Сравнение бесконечно малых функций.
- •Говорят, что бесконечно малая a(X) имеет порядок k по сравнению с бесконечно малой b(X) при , если имеют одинаковый порядок малости бесконечно малые a(X) и (b (X))k, то есть
- •Дополнительные упражнения
- •Ответы.
- •§5. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции.
- •§6. Односторонние пределы.
- •§7. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва.
- •§8. Производная. Правила и формулы дифференцирования.
- •§9. Дифференциал функции, его применение.
- •§10. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.
- •§11.Геометрический и механический смысл производной.
- •Пример 3
- •Из уравнения первой параболы получаем
- •Дополнительные упражнения
- •§12. Производные высших порядков.
§4. Сравнение бесконечно малых функций.
Функция называется бесконечно малой при , если
.
Для сравнения двух бесконечно малых функций и при находят предел их отношения при :
-
Если число A = 0 , то говорят, что бесконечно малая a(x) имеет более высокий порядок малости, чем бесконечно малая b(x) при .
При этом используют обозначение: a(x)=о(b(x)) при .
-
Если , то говорят, что бесконечно малая a(x) имеет более низкий порядок малости, чем бесконечно малая b(x) при .
При этом очевидно, что , поэтому b(x) = о(a(x)).
-
Если число , то говорят, что бесконечно малые a(x) и b(x) имеют одинаковый порядок малости при .
При используют обозначение: a(x)=О(b(x)) при .
В частности, если число А = 1, то бесконечно малые a(x) и b(x) называются эквивалентными и обозначаются: при .
4. Если А не существует, то говорят, что бесконечно малые a(x) и b(x) сравнить нельзя.
Говорят, что бесконечно малая a(X) имеет порядок k по сравнению с бесконечно малой b(X) при , если имеют одинаковый порядок малости бесконечно малые a(X) и (b (X))k, то есть
.
Пример 1
Сравнить бесконечно малые функции a(x) при с бесконечно малой функцией b(x) = x, , если
1) 2) 3)
4)
Решение.
Вычисляем предел отношения в каждом случае:
1)
бесконечно малая x3 имеет более высокий порядок малости, чем бесконечно малая x при .
Это означает, что быстрее, чем .
Ответ: x3 = о(x) при .
2)
бесконечно малая имеет более низкий порядок малости, чем бесконечно малая x при .
Это означает, что медленнее, чем .
Ответ: x = о() при .
3)
бесконечно малые 10x и x при имеют одинаковый порядок малости.
Ответ: 10x = O(x) при .
4)
следовательно, есть бесконечно малая, эквивалентная, при .
Ответ: при .
Пример2.
Определить порядок бесконечно малой функции относительно бесконечно малой при .
Решение.
Составим .
Этот предел будет равен некоторому числу , если сократится . Чтобы так произошло, нужно взять k = 8. Действительно,
.
Таким образом, k = 8 – это порядок данной функции y относительно функции x при .
Ответ: О(x8), то есть k = 8.
Дополнительные упражнения
-
Сравнить бесконечно малые функции a(x) и b(x) при , если:
а)
б)
в)
г)
-
Определить порядок относительно x бесконечно малой функции при , если
а) б)
в) г)
Ответы.
1.а) О(b(x)); б) О(b(x));
в) bn=о(an); г) an=О(bn).
2.а) k = 2; б) k = 0.5;
в) k = 1; г) k = 10.
§5. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции.
При раскрытии неопределенностей используются следующие замечательные пределы:
1. .
-
или .
-
, в частности .
-
, в частности .
-
.
Две бесконечно малые функции a(x) и b(x) при , если предел их отношения при равен единице:
при .
Принцип замены бесконечно малых:
При раскрытии неопределенностей вида любой бесконечно малый множитель может быть заменен на ему эквивалентный.
Теоретические эквивалентности бесконечно малых функций следует из замечательных пределов и записываются следующим образом:
1. при |
|
2. |
при |
3. при при |
при |
4. при |
при
|
Пример 1.
Найти .
Решение.
Имеем неопределенность . Воспользуемся первым замечательным пределом:
.
Этот же предел можно найти с помощью эквивалентных бесконечно малых:
~.
Пример 2.
Найти
Решение.
~~.
Пример 3.
Найти .
Решение.
в разности нельзя заменять бесконечно малые функции на им эквивалентные, поэтому сначала проведем преобразования разности в произведение
Пример 4.
Найти .
Решение.
.
Пример 5.
Найти
Решение.
Разложим числитель на множители, используя формулу разности кубов:
.
Часто при вычислении пределов бывает удобно сделать замену переменной, чтобы воспользоваться эквивалентными бесконечно малыми функциями.
Пример 5.
Найти .
Решение.
Получаем неопределенность , но т.к. , то сразу воспользоваться эквивалентными бесконечно малыми нельзя. Введем новую переменную такую, чтобы она стремилась к нулю при :
Пример 6.
Найти .
Решение.
Имеем неопределенность , которую раскрываем с помощью второго замечательного предела: , добившись того, чтобы бесконечно малая величина z в основании степени и показатель были бы взаимно обратными дробями
.
Здесь подразумевалось, что при .
Пример 7.
Найти .
Решение.
Так как , то используем второй замечательный предел в форме: . Для этого в основании выделяем целую часть дроби:
.
Здесь при использовании замечательного предела подразумевали, что при .
Пример 8.
Найти .
Решение.
.
Пример 9.
Найти .
Решение.
Самостоятельная работа.
Вариант 1.
Найти: а); б) ;
в); г).
Вариант 2.
Найти: а); б);
в) ; г).
Вариант 3.
Найти: а); б);
в); г).
Ответы.
Вариант 1: а); б); в); г).
Вариант 2: а); б); в) ; г) .
Вариант 3: а); б); в); г).
Дополнительные упражнения.
-
2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
-
10.
Ответы.
1. ; 2. ; 3. ; 4. 8; 5. ;
6. 24; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .