55. Построение нормальной кривой по опытным данным. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Эмпирические асимметрия и эксцесс.

Один из способов построения нормальной кривой по данным наблюдений состоит в следующем:

находят и , например, по методу произведений;

находят ординаты (выравнивающие частоты) теоретической кривой по формуле , где n – сумма наблюдаемых частот, h – разность между двумя соседними вариантами: и ;

строят точки (x_i, y_i) в прямоугольной системе координат и соединяют их плавной кривой.

Близость выравнивающих частот к наблюдаемым подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределен нормально.

Для того, чтобы уверенно считать, что данные наблюдений свидетельствуют о нормальном распределении признака, пользуются специальными правилами (их называют критериями согласия).

Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют различные характеристики, к числу которых относятся асимметрия и эксцесс.Асимметрия эмпирического распределения определяется равенством a_s=m₃/², где m₃ – центральный эмпирический момент 3-го порядка.

Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством: e_k=m₄/⁴-3, где m₄ – центральный эмпирический момент четвертого порядка.

56. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Условные средние. Выборочные уравнения регрессии. Выборочный коэффициент корреляции

Две СВ могут быть связаны могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми. Строгая функцион-ная зависимость реализуется редко, т.к. обе величины или одна из них подвержены еще действию случайных факторов, причем среди них могут быть и общие для обеих величин (под общими здесь подразумеваются те факторы, который воздействуют и на X и на Y). В этом случае возникает статистическая зависимость. Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой; в этом случае статистическую зависимость называют корреляционной.

В качестве оценок условных математич-х ожиданий принимают условные средние, которые находят по данным наблюдений (по выборке). Условным средним называют среднее арифметическое наблюдавшихся значений Y, соответствующих Х=х. Условным средним называют среднее арифметическое наблюдавшихся значений Х, соответствующих Y=y.

Условное математическое ожидание M (Y|x) является функцией от х, следовательно, его оценка, т.е. условное среднее , также функция от х; обозначив эту функцию через f*(x), получим уравнение = f*(x). Это уравнение называют выборочным уравнением регрессии Y на X; функцию f*(x) – называют выборочной регрессией Y на X, а ее график – выборочной линией регрессии Y на X. аналогично уравнение называют выборочным уравнением регрессии X на Y; функцию называют выборочной регрессией X на Y, а ее график – выборочной линией регрессии X на Y.

Выборочный коэфф-нт корреляции определяется равенством , где x и y – варианты (наблюдавшиеся значения) признаков X и Y; - частота пары вариант (x и y); n – объем выборки (сумма всех частот); – выборочные средние квадратические отклонения; - выборочные средние. Коэфф-нт корреляции измеряет силу (тесноту) линейной связи между Y и X. Выборочный коэффициент корреляции r_в является оценкой коэфф-нта корреляции rгенер-ной совок-сти и поэтому также служит для измерения линейной связи между величинами – количественными признаками Y и X.