66. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена

Пусть генеральные совокупности Х1, Х2, .... Хi распределены нормально. Из этих совокупностей из- влечено l независимых выборок одинакового объе- ма л и по ним найдены исправленные выборочные дис- персии, все с одинаковым числом степеней

свободы к = n — 1.

Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, со­стоящую в том, что генеральные дисперсии рассматрива­емых совокупностей равны между собой: H0=D(X1)=D(X2)=D(Xl). Другими словами, требуется проверить, значимо или незначимо различаются исправленные выборочные дис­персии.

Итак, в качестве критерия проверки нулевой гипо­тезы примем критерий Кочрена—отношение максималь­ной исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий:

.

Распределение этой случайной величины зависит только от числа степеней свободы к = n— 1 и количества выбо­рок I.

Критическую область строят правостороннюю, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости: P[G>Gкр(xkl)]=a

Критическую точку Gкр(akl) находят по таблице приложения 8, и тогда правосторонняя критическая об­ласть определяется неравенством G>Gкр, а область при­нятия нулевой гипотезы — неравенством G<Gкр .

Обозначим значение критерия, вычисленное по дан­ным наблюдений, через Gнабл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости а проверить гипотезу об однородности диспер­сий нормально распределенных совокупностей, надо вы­числить наблюдаемое значение критерия и по таблице найти критическую точку.

Если Gнабл<Gкр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Gнабл>Gкр — нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. Если требуется оценить генеральную дисперсию, то при условии однородности дисперсий целесообразно принять в ка­честве ее оценки среднюю арифметическую исправленных выбороч­ных дисперсий.

67. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции

Пусть двумерная генеральная совокупность (X, У) распределена нормально. Из этой совокупности из­влечена выборка объема n и по ней найден выборочный коэффициент корреляции , который оказался отличным от нуля. Так как выборка отобрана случайно, то еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генераль­ной совокупности также отличен от нуля. В конечном счете нас интересует именно этот коэффициент, поэтому возникает необходимость при заданном уровне значи­мости а проверить нулевую гипотезу Н0:rг = 0 о равен­стве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе .

Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значимо отли­чается от нуля (кратко говоря, значим), а X и У корре­лированы, т. е. связаны линейной зависимостью. Если нулевая гипотеза будет принята, то выбо­рочный коэффициент корреляции незначим, а X и У не-коррелированы, т. е. не связаны линейной зависимостью.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при­мем случайную величину

.

Величина Т при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с к=n - 2 степенями свободы.

Обозначим значение критерия, вычисленное по дан­ным наблюдений, через Тнабл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости а проверить нулевую гипотезу Н0:rг = 0 о ра­венстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конку­рирующей гипотезе , надо вычислить наблюда­емое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости и числу степеней сво­боды к = n- 2 найти критическую точку 1Ю (а; к) для двусторонней критической области.

Если—нет оснований отвергнуть нуле­вую гипотезу.

Если —нулевую гипотезу отвергают.

68. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона.Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производиться при критерии согласия. КС-критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизв-го распределения. Будем сравнивать эмпирические и теоретические частоты. Случайно ли расхождение частот? Критерий Пирсона отвечает на поставленный выше вопрос. Он не доказывает справ-сть гипотезы, а лишь устанавливает на принятом уровне значимость ее согласия или несогласия с данными наблюдений. Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить 0-ю гипотезу H₀: ген-я сов-сть распределена нормально, надо сначала вычислить теоретич. частоты, а затем наблюд. значения крит.: Х_набл. ² =Ε(ni-ńi)²/ni. И по таблице критических точек распределения. Если Х_набл. ²<X_кр.² - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Х_набл. ²>X_кр.² -нул. Гипотезу отвергают.

69. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверка гипотезы о его значимости.Для оценки степени связи признаков вводят коэффициент ранговой корреляции(р.к.) Спирмена.Для практических целей исп-е р.к. весьма полезно.Рассмотрим 2 крайних случая:1) Ранги по признакам А и В совпадают при всех значениях индекса i: Xi=Yi. В этом случае ухудшение качества по одному признаку влечет ухудшение качества по другому. Признаки связаны: имеет место «полная прямая зависимость».2)Ранги по признакам А и В противоположны в том смысле.что если X1=1,то Y1=n; если Х2=2, то У2=n-1….. В этом случае ухудшение кач-ва по одному признаку влечет улучшение кач-ва по другому. Призн. Связ.: имеет место «противоположнаязь между призраками. О связи между качеств-ми признаками Аи В можно судить по связи м-дуслуч. велич. Х и У, для оценки кот-й использ-сякоэф. Коррел. Формула: r_в = Εu_iv_i /nσ_uσ_v.Выборочный к-т р.к. Спирмена: р_в=1-[(6Εd_i²)/(n³-n)]. Св-вакоэф-та коррел. Спирмена:1) Если между качественными признаками А и В имеется «полная прямая зависимость» в том смысле, что ранги объектов совп-т при всех значениях i, то к-т Спирмена равен единице. Р_в=1. 2)Если м-дукач-ми призн-ми А и В имеется ” противоположная зависимость в том смысле, что рангу х₁=1 соотв-т рангу у₁=n,…, х_n=n соотв. Ранг у_n=1., то к-т Спирмена равен минус единице. Р_в=-1. 3) Если между качественными признаками А и В нет ни ”полной прямой”, ни “противоположной” зависимостей, то к-т заключен м-ду -1 и +1, причем чем ближе к 0 его абсолютная величина, тем зависимость меньше. Правило: для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевуюгипот. О рав-ве 0 генерального к-та р.к.Спирмена, надо вычислить критич-ю точку: Т_кр =t_кр(α;к)√(1-р_в²)/(n-2), Где n- объем выб-ки, р_в- выб-й к-т корр.Спирмена, t_кр(α;к )-крит. Точка крит. Области, кот. Находят по таблице. Если │р_в│<Т_кр-нет оснований отвергнуть нул. Гипотезу. Ранговая корр. Связь незначима. Если│р_в│>Т_кр - нул. Гипот. Отвергают. Сущ-т значимая связь.

70. Связь м-ду двумя кач-ми признаками оценивают т-же, используя к-т ранговойкоррел. Кендалла. Пусть ранги объектов выб-ки: по признаку А х₁, х₂,…,х_n, по призн. В у₁,у₂,…,у_n.Выборочный к-т ранговой корр. Кендаллаопр-ся ф-лой: Т_В=[4R/n(n-1)]-1, где n-объем выб-ки. Св-ва: 1. В случае«полной прямой зависимости» признаков: х1=1,х2=2,…,хn=n; у1=1,у2=2,…,уn=n. 2.В случае “противоположной” зависимости х1=1,х2=2,…,хn=n; у1=n,у2=n-1,...,уn=1. Правило, позволяющее установить значимость или незначимость ранговой связи Кендалла: для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипот. О рав-ве 0 генерального к-та р.к.Кендалла, надо вычислить критич-ю точку: Ткр =Z_кр√[2(2n+5)]/ [9n(n-1)], где n - объем выб-ки, Z_кр-крит.точкакрит. Области. Если │т_в│<Т_кр- нет оснований отвергнуть нул. Гипотезу. Ранговая корр. Связь незначима. Если │т_в│>Т_кр-нул. Гипот. Отвергают. Сущ-т значимая связь.

71. Критерий Вилкоксона служит для проверки однородности двух независимых выборок: х1,х2,…,хn и у1,у2,…,уn. Этот крит. Применим к случайным величинам, распр-я кот-х неизвестны; треб-ся лишь, чтобы величины были непрерывными.

А.Проверканул. Гипот. В случае , если объем обеих выб-к не превосходит 25. Правило1.: Для того чтобы при заданном уровне значим. А=2Q проверить нул. Гипот. Об однородности двух незав-х выб-к объемов n₁ и n₂ ,надо:1).расположить варианты обеих выб-к в возрастающем порядке, т.е в виде одного вариационного ряда, и найти в этом ряду наблюдаемое значение критерия W_набл – сумму порядковых номеров вариант первой выб-ки; 2) найти по таблице нижнюю крит. Точку W_{нижн. Кр}n1- W_{нижн. Кр}, где Q=α/2; 3)найти верхнюю крит. Точку по ф-ле: W_{верхн.Кр} =(n1+n2+1)n1- W_{нижн. Кр}Если W_набл<W_{нижн. Кр}или W_набл >W_{верхн. Кр}–нул. Гипот. Отвергают. Если W_{нижн. Кр}<W_набл<W_{верхн. Кр}– нет оснований отвергнуть нул. Гипотезу. Правило 2: Надо анйти по табл. Нижн. Крит. Точку W_{нижн. Кр}(Q;n₁,n₂), где Q=α. Если W_набл >W_{нижн. Кр}-нет оснований отвергнуть нул. Гипот. Если W_набл >W_{верхн. Кр}–нул. Гипот. Отвергают. Правило3: Надо найти верхн. Крит. Точку: W_{верхн.Кр}(Q;n₁,n₂) =(n1+n2+1) n1- W_{нижн. Кр}n1- W_{нижн. Кр}(Q;n₁,n₂), где Q=α. Если W_набл <W_{верхн. Кр–}нет оснований отвергнуть нул. Гипот. Если W_набл >W_{верхн. Кр}-нул. Гипот. Отвергают.

Б. Проверка нул. Гипот. В случае , если объем хотя бы одной из выб-к превосходит 25.

1. Нижняя крит. Точка: W_{нижн. Кр}(Q;n₁,n₂) =[ (n1+n2+1) n1-1/2 –Z_кр√n1n2 (n1+n2+1) /12], где Q=α/2; Z_крнаходят пот таблице функции Лапласа.

2. Нижняя крит. Точку находят по ф-ле, что и в пункте 1, положив Q=α; соотв-но Z_кр находят пот таблице функции Лапласа. Остальные правила сохран-ся.

1. Случайное событие

2. Равновозможные события

3. Геометрическая вероятность

4. Пространство вероятных исходов

5. Аксиомы теории вероятности

6. Сумма событий. Полная группа

7. Условная вероятность

8. Формула полной вероятности

9. Вероятности гипотез. Формула БейесаПоследовательность неизвестных испытаний. Формула Бернулли

10. Локальная формула Муавра-Лапласа. Формула Пуассона

11. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты случайного события от его вероятности в каждом отдельном испытании

12. Определение и основные виды случайных величин

13. Биноминальный закон распределения дискретной случайной величины. Примеры

14. Распределение Пуассона. Примеры

15. Геометрическое распределение дискретной случайной величины. Примеры

16. Геом распределение СВ. Примеры

17. Мат ожидание

18. Дисперсия

19. Дисперсия и мат ожидание появления события А

20. Нач и центр момент

21. Неравенство Чебышева

22. Теорема Чебышева

23. Предел

24. Функция распределения CВ

25. Непрерывная CВ

26. Хар-ки непрерывных CВ

27. Норм распределение непрерывной С В

28. Оценка отклонения теорит распределения от нормального

29. Показательное отклонение

30. Функция случайного аргумента

31. Распределение Стьюдента

32. Двухмерная функция распределения

33. Вер-ть попадания точки в прямоугольник

34. Поверхность распределения

35. Плотность распределения

36. Сов-ть условных вероятностей

37. Условные знаки распределения

38. Условное мат ожидание. Функции регрессии

39. Зависимые и независимые СВ. Коэф корреляции

40. Коррелированность И зависимость Х,У

41. Лин регрессии. Коэф регрессии

42. Лин кор распределения двумерной СВ

43. Мат статистика

44. Стат оценка

45. Ген средняя

46. Ген дисперсия

47. Групповая дисперсия

48. Точечные и интервальные оценки

49. Доверит интервал при извсркв отклонении

50. Доверит интервал при неизвсркв отклонении

51. Оценка точности измерений

52. Метод моментов для точечной оценки

53. Метод наибольшего правдоподобия

54. Условные варианты. Моменты

55. Оценка эмперич отклонения от норм-го

56. Зависимость. Выборочнкоэф корреляции

57. Мера кор связи

58. Стат гипотезы

59. Критические области

60. Нуль гипотеза

61. Правила сравнения

62. Формула мин объёма выборки

63. Неравенство, определяющее связь

64. Сравнение относит частоты с вероятностью

65. Сравнение нескольких дисперсий. Критерий Бартлетта

66. Критерий Кочрена

67. Проверка гипотезы о значимости коэфкорр-и

68. Критерий согласия Пирсона

69. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена

70. Коэф ранговой коррел. Кендалла

71. Критерий Вилкоксона