48.Точечные и интервальные оценки. Точность оценки, доверительная вероятность(надежность).Доверительный интервал.

Точечные оценкиСтатистической оценкойнеизвестного параметра случайной величины

X называется функция вариант x1 , x2 , …, xi, …, xn.

Несмещенной называют статистическую оценку, математическоеожидание которого равно оцениваемому параметру при любом объеме

выборки.Смещеннойназывают статистическую оценку, математическое ожиданиекоторой не равно оцениваемому параметру.Выборочной средней(оценкой математическогоожидания) называют

среднее арифметическое наблюдаемых значений количественного признака=

xi— варианта выборки,

ni— частота варианты,— объем выборки,

k — число наблюдаемых различных значений случайного параметра X .

Таким образом, выборочная средняяесть средняя взвешенная значенийпризнака с весами, равными соответствующим частотам.Допустим, что все наблюдаемые значения количественного признака

(случайной величины) X выборки разбиты на несколько групп.Рассматривая каждую группу как самостоятельную, можно найти ее

среднюю арифметическую.Групповой среднейназывают среднее арифметическое значений признака,

принадлежащих группе.Зная групповые средние и объемы группы, можно найти общую

среднюю: общая средняя равна средней арифметической групповых средних,взвешенной по объемам групп.Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественногопризнака X совокупности вокруг своего среднего значения xв, вводят

характеристику — выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсиейназывают среднее арифметическое квадратов

отклонений наблюдаемых значений количественного признака X от

выборочного среднего xв:=

то есть выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратовотклонений с весами, равными соответствующим частотам.Кроме выборочной дисперсии для характеристики рассеяния значений

количественного признака X вокруг своего выборочного среднего значенияпользуются характеристикой — выборочным средним квадратическим

отклонением.Выборочным средним квадратическим отклонениемвыборочным

стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии:σ в = .

Вычисление дисперсии можно упростить, используя формулу:Dв=.

Выборочная дисперсия Dвявляется смещенной оценкой дисперсии. Для

того, чтобы получить несмещенную оценку дисперсии, нужно "исправить"

величину Dв.

Исправленной выборочной дисперсией S² называется величина:=

Исправленным выборочным средним квадратическим отклонениемназывается величина:

S = .

Все рассмотренные выше статистические оценки называются точечными,так как они определяются одним числом.

Интервальные оценкиИнтервальнойназывают оценку, которая определяется двумя

числами — концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительнымназывают интервал длиной 2δ , который с заданной

вероятностью (надежностью) γ покрывает оцениваемый параметр. Величина

δ , равна половине доверительного интервала, называется точностью

оценки.