4. Синтез корректирующего устройства с опережением по фазе с помощью корневого годографа

Синтез корректирующего устройства с опережением по фазе можно выполнить с помощью корневого годографа. Такое устройство имеет передаточную функцию:

(30)

где α и τ для RC – системы определяются из выражения (7). Нуль и полюс выбираются так, чтобы корневой годограф скорректированной системы имел приемлемую форму. Желаемое положение доминирующих корней определяется, исходя из требований к качеству системы. Данный метод включает в себя следующие этапы:

1. На основании требований к качеству системы определить желаемое расположение доминирующих корней на р – плоскости.

2. Построить корневой годограф нескорректированной системы и определить с его помощью, можно ли добиться желаемого расположения доминирующих корней.

3. Если необходима коррекция, то поместить нуль корректирующего устройства непосредственно под одним из желаемых корней (или слева от двух первых вещественных полюсов разомкнутой системы).

4. Определить положение полюса корректирующего устройства так, чтобы сумма аргументов векторов, проведенных из нуля и полюса к желаемому корню, составила 180^о и, следовательно, этот корень действительно принадлежал корневому годографу скорректированной системы.

5. Вычислить коэффициент усиления системы, соответствующий желаемому положению корня, и определить значение коэффициента ошибки.

6. если коэффициент ошибки не удовлетворяет требованиям к точности системы, повторить процедуру синтеза.

Итак, сначала мы должны указать желаемое расположение доминирующих корней, удовлетворяющих параметрам ξ и ω_n, как показано на рис. 11а. затем необходимо построить корневой годограф нескорректированной системы (рис.11б). далее слева от первых двух вещественных полюсов помещается нуль, за счет которого будет создано опережение по фазе. При этом следует соблюдать осторожность, потому что этот нуль не должен повлиять на желаемое расположение доминирующих корней; нуль не должен находиться ближе к началу координат, чем второй полюс на действительной оси, иначе реакция системы будет определяться, в основном, вещественным корнем, расположенным вблизи начала координат.

Так на рис. 11в показано, что желаемый корень находится прямо над вторым полюсом, и мы поместим нуль z чуть левее второго вещественного полюса.

Рис.11. Иллюстрация на р- плоскости коррекции с опережением по фазе

Если вещественный корень будет расположен близко к вещественному нулю, то в разложении на простые дроби изображения по Лапласу выходной переменной коэффициент при члене, соответствующий данному корню, будет достаточно малым и влияние этого корня на реакцию системы окажется незначительным. Однако, проектировщик должен постоянно помнить, что реакция скорректированной системы определяется не только корнями ее характеристического уравнения, но и нылями передаточной функции. Поэтому всегда целесообразно во избежание ошибок при синтезе проверять показатели качества скорректированной системы путем компьютерного моделирования.

Поскольку желаемый корень должен принадлежать корневому годографу скорректированной системы, то надо потребовать, чтобы алгебраическая сумма аргументов векторов, проведенных к этому корню, была равна 180^о. Поэтому остается вычислить угол Ө_p, соответствующий аргументу вектора, проведенного из полюса корректирующего устройства к желаемому корню, затем провести прямую линию, проходящую через желаемый корень под углом Ө_p, как показано на рис. 11г.

Преимущество метода корневого годографа заключается в том, что проектировщик всегда может указать желаемое расположение доминирующий корней, определяющих характер системы.

Недостаток данного метода в том, что он не позволяет непосредственно определить коэффициенты ошибки (например, К_V), как это возможно при использовании диаграммы Боде.

Здесь после завершения синтеза надо сначала определить коэффициент усиления системы, при котором корни занимают желаемое положение (а он будет зависеть от q и z), и только после этого вычислить соответствующий коэффициент ошибки скорректированной системы.

Если этот коэффициент окажется неприемлемым, то придется повторить процедуру синтеза, изменив положение желаемых корней, а также полюса и нули корректирующего устройства.

Пример 3. Синтез корректирующего устройства с опережением по фазе методом корневого годографа

Рассмотрим систему из примера 1, которая при отсутствии коррекции имеет в разомкнутом состоянии передаточную функцию:

(31)

Характеристическое уравнение нескорректированной системы имеет вид:

(32)

и соответствующий корневой годограф совпадает с мнимой осью. Следовательно, в систему необходимо ввести корректирующее устройство с передаточной функцией:

(33)

где: .

Требование к качеству заключается в следующем: время установления (по критерию 2%) Т_S <= 4 c, относительное перерегулирование при ступенчатом входном сигнале не более 35%. Следовательно, коэффициент затухания должен удовлетворять неравенству : ξ >=0,32. Для времени установления мы имеем соотношение:

и, следовательно, =1. Поэтому мы выберем желаемое расположение доминирующих корней