3.2. Корректирующее устройство с отставание по фазе

Часто возникает необходимость использования корректирующего устройства, обладающего отставанием по фазе.

Схема с отставанием по фазе изображена на рис.6.

Рис.6. Схема с отставание по фазе

Ее передаточная функция имеет вид:

(12)

Обозначим и запишем (12) в виде:

(13)

где и . В данном случае, поскольку , полюс расположен ближе к началу координат, чем нуль, как показано на рис.7.

Рис.7. Расположение полюса и нуля для схемы с отставанием по фазе

Схемы такого типа называют интегрирующими, поскольку их частотные характеристики в ограниченном интервале частот близки к соответствующим характеристикам интегратора. Диаграмма Боде для устройства с отставанием по фазе строится на основании выражения:

(14)

и приведена на рис.8.

Рис.8. Диаграмма Боде для схемы с отставанием по фазе

Сравнивая рисунки 3 и 8, можно заметить, что амплитудные характеристики симметричны относительно уровня 0 дБ, а фазовые – относительно значения 0^о. Точно так же максимальный фазовый сдвиг устройства с отставанием по фазе имеет место на частоте .

4. Коррекция с опережением по фазе: синтез с помощью диаграммы БОДЕ

При синтезе корректирующих устройств с опережением по фазе частотные характеристики последовательного корректирующего устройства просто складываются с частотными характеристиками нескорректированной системы.

Алгоритм синтеза корректирующего устройства с опережением по фазе с водится к следующим этапам:

1. Построить диаграмму Боде для нескорректированного устройства.

2. Оценить запас по фазе в нескорректированной системе при условии удовлетворения требований к коэффициентам ошибки.

3. Определить необходимый дополнительный фазовый сдвиг

4.Ввычислить параметр по уравнению (11).

5. Вычислить 10 lgα и найти частоту, при которой амплитудная характеристика нескорректированной системы имеет значение -10 lgα дБ. Поскольку на частоте корректирующее устройство обладает усилением 10 lgα, то эта частота будет одновременно соответствовать пересечению амплитудной характеристикой скорректированной системы уровня 0 дБ.

6. Вычислить значение полюса и нуля .

7. Построить частотные характеристики скорректированной системы, проверить полученное значение запаса по фазе и, если необходимо, повторить предыдущие этапы.

8. И, наконец, в завершение синтеза скомпенсировать уменьшение коэффициента усиления за счет члена .

Пример 1.

Рассмотрим простую одноконтурную схему, структура которой имеет вид рис.1, (а), где

и (15)

В замкнутом состоянии система имеет передаточную функцию:

(16)

Система недемпфирована, следовательно, в нее надо внести корректирующее устройство. Пусть к системе предъявлены следующие требования:

Время установления , коэффициент затухания .

Используя выражение для времени установления (по критерию 2%):

Получим:

Возможно, наиболее простой способ проверить значение - это использовать связь между собственной частотой и полосой пропускания замкнутой системы . Согласно рис. 8.26 (Р. Дорф, Р. Бишоп ) для мы имеем .

Следовательно полоса пропускания замкнутой системы должна быть равна .

В нескорректированной системе , где . Следовательно, достаточно иметь коэффициент усиления .

Но чтобы с гарантией получить заданное время установления, примем К= 10. При этом значении К диаграмма БОДЕ для нескорректированной системы с передаточной функцией:

изображена на рис.9.

Рис.9. Диаграмма Боде к примеру 1.

Используя соотношение: , находим

(17)

В нескорректированной системе запас по фазе равен 0, так как фазовая характеристика, соответствующая двум интеграторам, на всех частотах имеет значение равное -180^о. Следовательно, на частоте, при которой амплитудная характеристика скорректированной системы будет пересекать уровень 0 дБ, мыдолжны добавить к фазовой характеристике 45^о.

Найдем значение параметра α:

(18)

Отсюда α: = 5.8. Выберем с запасом α: = 6.

Тогда 10 lg α = 7,78 дБ, т.е. корректирующее устройство на частоте добавит к амплитудной характеристике 7.78 дБ. Поэтому надо потребовать, чтобы амплитудная характеристика скорректированной системы пересекала уровень 0 дБ именно на частоте

По амплитудной характеристике нескорректированной системы находим, что она имеет значение -7,78 дБ при . Таким образом, максимальный дополнительный фазовый сдвиг мы должны иметь на частоте , как показано на рис.9.

Находим значение полюса:

и нуля

Полосу пропускания скорректированной системы можно определить с помощью диаграммы Никольса. На рис. 9.26 (Бишоп) линии -3дБ для замкнутой системы принадлежит точка, которой соответствует модуль L , равный -6 дБ, и фазовый сдвиг приблизительно -140^о. Поэтому достаточно посмотреть на частотные характеристики разомкнутой системы и определить частоту, при которой lg │L │=-6 дБ. Так, для нескорректированной системы мы получим .

В данном случае коррекция с опережением по фазе привела практически к удвоению полосы пропускания, и требование выполнено. Следовательно, коррекция системы выполнена и ее качества отвечают заданным показателям.

В итоге для разомкнутого контура мы имеем:

(19)

В соответствии с формулой (8) передаточная функция корректирующего устройства принимает вид:

(20)

Поскольку коэффициент передачи пассивной интегрирующей схемы равен 1/6, то в контур необходимо ввести усилитель с коэффициентом усиления, равным 6, чтобы в разомкнутой системе коэффициент усиления остался равен 10, как этого требует выражение (19)

Результирующая передаточная функция скорректированной системы (Помним, что Н(р)= 1) имеет вид:

Передаточная функция замкнутой системы:

Отсюда ясно, что на вид переходной характеристики будут оказывать влияние нуль р = -2 и третий полюс р = -6.

Построив переходную характеристику, можно обнаружить, что перерегулирование составит 34%, а время установления равно 1.4 с.

Пример 2. Коррекция с опережением по фазе системы второго порядка

Рассмотрим систему, имеющую в разомкнутом состоянии передаточную функцию:

(21)

требуется, чтобы при линейном входном сигнале установившаяся ошибка была 5% от величины скорости этого сигнала. Следовательно, необходимо иметь:

(22)

Кроме того, желательно, чтобы запас по фазе был равен, по крайней мере 45^о.

Первый этап состоит в построении диаграммы БОДЕ для нескорректированной системы с передаточной функцией:

(23)

Результат построений приведен на рис.10. Частота, при которой амплитудная характеристика пересекает уровень 0 дБ, равна 6,2 рад/сек.

Фазовая характеристика определяется уравнением:

(24)

что при частоте сопряжения дает значение (25)

Следовательно, запас по фазе равен 18^о. Для определения запаса по фазе проще воспользоваться уравнением (24), вместо того, чтобы строить всю фазовую характеристику, изображенную на рис. 10 а. Ясно, что для увеличения запаса по фазе до нужной величины 45^о необходимо ввести в систему корректирующее устройство с опережением по фазе. После введения коррекции частота, при которой амплитудная характеристика пересечет уровень 0 дБ, будет больше, чем в исходной системе. Соответственно, будет больше и отставание по фазе в нескорректированной системе. Учитывая это обстоятельство, следует потребовать, чтобы максимальный фазовый сдвиг, создаваемый корректирующим устройством, был не 45 – 18 =27^о, а, скажем, на 10 % больше, т.е. 27 +3 =30 ^о. Тогда можно вычислить параметр α:

(26)

откуда α:=3.

Корректирующее устройство обладает максимальный фазовым сдвигом на частоте , поэтому она должна совпадать с частотой, при которой амплитудная характеристика скорректированной системы будет пересекать уровень 0 дБ. Амплитудная характеристика корректирующего устройства на частоте имеет значение дБ.

Поэтому частоту для системы с коррекцией определить достаточно просто: это будет частота, где дБ. Т.е. . Построив амплитудную характеристику скорректированной системы так, чтобы она пересекла уровень 0 дБ при , находим, что z = 4.8 и q = αz = 14.4.

Тогда корректирующее устройство будет иметь передаточную функцию:

(27)

Коэффициент усиления полученной системы надо увеличить в 3 раза, чтобы скомпенсировать множитель 1/α = 1/3. Тогда скорректированная система в разомкнутом состоянии будет иметь передаточную функцию:

(28)

Чтобы проверить, чему теперь равен запас по фазе, вычислим аргумент функции

при частоте :

(29)

Таким образом, запас по фазе в скорректированной системе равен 43,7^о. Если потребуется получить точно 45^о, то необходимо повторить этапы синтеза прир большом значении α = скажем при 3,5. В этом случае отставание пофазе в нескорректированной системе увеличится на 7^о между ω = 6.2 и ω = 8.4, поэтому допуск в 3^о при вычислении α явно недостаточен. Переходная характеристика скорректированной системы имеет перерегулирование 28%, а время установления равно 0.75 с.

Рис.10. Диаграмма Боде к примеру 2.