3. Схемы последовательной коррекции

Рассмотрим процедуру синтеза последовательного корректирующего устройства или корректирующего устройства в цепи обратной связи, как показано на рис.1 (а) и (б).

В любом случае корректирующее устройство включается последовательно с неизменяемым объектом W(p), и в итоге передаточная функция контура (разомкнутой цепи) приобретает вид .

Корректирующее устройство выбирается так, чтобы изменить либо вид корневого годографа, либо форму частотных характеристик. В любом случае можно подобрать такое устройство, передаточная функция которого будет иметь вид:

(1)

Далее задача сводится к надлежащему выбору полюсов и нулей функции .

Рассмотрим корректирующие устройства первого порядка.

Корректирующее устройство включают, как правило, в систему после измерительного устройства. Если система находилась в состоянии равновесия и при приложении к ней возмущения x(t) должен был получиться переходный процесс y(t), то передаточная функция системы

Рис.1. Последовательная коррекция

или

Из последнего уравнения получим:

После этого следует решить задачу физической реализации передаточной функции W_К(p).

При графоаналитическом методе расчета структуры САУ переходят к логарифмическим характеристикам и получают следующее выражение:

L_СК (ω) = L_ИСХ (ω) + L_К (ω) или L_К (ω) = L_СК (ω) - L_ИСХ (ω)

Порядок выполнения расчетов:

1. Строят ЛАЧХ исходной системы;

2. По заданным требованиям к качеству переходного процесса в проектируемой системе строят ЛАЧХ скорректированной системы.

3. По имеющимся ЛАЧХ характеристикам строят соответствующие ЛФЧХ и определяют запас по модулю и по фазе.

4. Вычитанием ЛАЧХ исходной системы из ЛАЧХ скорректированной системы получают ЛАЧХ корректирующего устройства.

5. По ЛАЧХ корректирующего устройства подбирают наиболее простое по техническому исполнению корректирующее устройство и его параметры. Подобрать соответствующее корректирующее устройство можно по литературным источникам.

3.1. Корректирующее устройство с опережением по фазе

Сначала параметры корректирующего устройства выбираются так, чтобы система удовлетворяла заданному ограничению на величину установившейся ошибки. После этого параметры настраиваются таким образом, чтобы изменить динамику системы в желаемом направлении, не влияя при этом на установившуюся ошибку.

Рассмотрим корректирующее устройство с передаточной функцией:

(2)

Проблема синтеза заключается в выборе параметров K, z, q, обеспечивающих заданное качество системы.

Если , то соответствующее устройство обладает опережением по фазе, и относительное расположение нуля и полюса на р – плоскости приведено на рис.2.

Рис.2. Расположение полюса и нуля для системы с опережением по фазе.

Если , а нуль находится в начале координат, то мы имеем дело с дифференциатором. Передаточная функция для него:

(3)

Частотная характеристика для этого корректирующего устройства имеет вид

: (4)

отсюда следует, что создаваемый им фазовый сдвиг равен +90^о.

Частотная характеристика, соответствующая передаточной функции (2) имеет вид:

(5)

где

Частотные характеристики такой схемы с опережением по фазе приведены на рис.3. Фазовая характеристика определяется уравнением:

Рис.3. Диаграмма Боде для схемы с опережением по фазе

Как видно, схема обладает опережением по фазе, а наклон среднечастотной асимптоты амплитудной характеристики равен +20дБ/Дек.

Корректирующее устройство с опережением по фазе можно реализовать с помощью схемы, изображенной на рис. 4.

V₁(p)

Рис.4. Четырехполюсник, обладающий опережением по фазе

Эта схема имеет передаточную функцию:

(7)

Полагая:

и

мы получим передаточную функцию с опережением по фазе:

(8)

которая совпадает с (5) с точностью до дополнительного коэффициента К.

Фазовый сдвиг имеет максимальное значение на частоте собственных колебаний системы .

- среднее геометрическое значений и .

Если частоту откладывать в логарифмическом масштабе, то фазовая характеристика имеет максимальное значение как раз посередине между частотами, соответствующими нулю и полюсу передаточной функции. Таким образом,

Чтобы получить выражение для максимума фазового сдвига, запишем аргумент функции в виде:

(9)

Подставив сюда значение частоты , получим:

(10)

Далее, используя соотношение между тригонометрическими функциями, можно записать: (11)

Выражение (11) очень полезно для вычисления требуемого соотношения между полюсом и нулем корректирующего устройства, обеспечивающего заданный максимальный фазовый сдвиг. График зависимости от приведен на рис.5. Из графика, в частности, видно, что фазовый сдвиг не может быть больше 70^о. Кроме того, поскольку , то существуют практические ограничения на максимально достижимое значение α.

Поэтому, если требуется иметь максимальный сдвиг больше, чем , то в этом случае потребуется использовать две схемы, соединенные последовательно. Тогда эквивалентная передаточная функция корректирующего устройства будет равна:

при условии, что эффект нагрузки со стороны на незначителен.