-
Неперервні випадкові величини (нвв)
Def. 4.1 Інтегральною функцією розподілу ВВ функція, яка у кожній точці дорівнює імовірності того, що ВВ приймає значення, менше за :
(4.1)
Приклад ДВВ.
-
0
1
2
3
Властивості.
1) ; 2) ; 3) Неспадна: ;
4) . Частинний випадок: Якщо спектр ВВ належить проміжку , то при .
Доведення 3). Нехай , тоді:
Наслідок:
(4.2)
Інтегральна функція ДВВ, яку ми побудували є розривною. Існують ВВ з неперервною інтегральною функцією розподілу.
Приклад.
Def. 4.2 ВВ називається неперервною якщо її інтегральна функція неперервна та має похідну, крім, можливо, скінченної множини точок.
Однією з особливостей НВВ є те, що імовірність будь якого точного її значення дорівнює нулю. Дійсно,
(4.3)
У таких ВВ існую т. з. диференціальна функція розподілу (функція щільності імовірності)
Def. 4.3 Диференціальною функцією розподілу (функцією щільності імовірності) НВВ називається похідна від її інтегральної функції розподілу:
(4.4)
Зрозуміло, що вона визначена там, де існує похідна від .
З означення випливає, що ДФР існує лише у НВВ на відмінну від ІФР, яка є як у НВВ, так і у ДВВ.
Властивості:
1) , крім, можливо скінченної множини точок;
2) , оскільки це похідна неспадної функції (ІФР);
3) імовірність влучення у інтервал:
(4.5)
Доведення. За (4.2)
Формула Ньютона - Лейбніца, означення 4.3 (формула (4.4)).
4) (4.6)
Доведення: За (4.5)
Якщо спектр ВВ належить проміжку , то .
5) . Доведення від протилежного. За 4) площа під криволінійної трапеції дорівнює одиниці. Якщо, приміром, , то невласний інтеграл буде розбіжним.
Якщо спектр ВВ належить проміжку , то при . Дійсно, за властивостями ІФР, при , тобто на обох інтервалах є сталою, похідна якої дорівнює нулю.
6) Зв'язок з ІФР:
(4.7)
Дійсно, за (4.5).Зауваження: змінна за якою ведеться інтегрування.
Числові характеристики НВВ.
Def. 4.4 Математичним сподівання НВВ називається невласний інтеграл:
(4.8)
за умовою, що він збігається.
Дисперсія та середнє квадратичне відхилення визначаються так само, як і для ДВВ.
Формула для обчислення дисперсії набуває вигляду:
(4.9)
Приклади.
-
Дана функція
Довести що вона є ІФР НВВ, побудувати ДФР, обчислити математичне сподівання і дисперсію та ймовірності:
, .
.
, .
Зауваження. .
-
Дана функція .
Знайти значення параметра при якому вона є ДФР НВВ та побудувати ІФР.
.