-
Дискретні випадкові величини
На попередніх лекціях ми розглядали випробування, результати яких – події формулювались вербально,
У той же час, існують випробування, події в яких виражаються числами:
І, якщо ці події випадкові, то і числа, якими вони характеризуються, є випадковими.
Def. 2.1 Випадковою величиною називається змінна величина, яка в результаті випробування набуває якогось одного, заздалегідь невідомого значення.
Позначаються В.В. великими
латинськими літерами, останніми у
алфавіті:
.
Значення позначаються відповідними
маленькими літерами:
з індексами або без.
Def. 2.2 Спектром ВВ називається множина значень, які вона набуває.
Ця множина може бути дискретною або неперервною.
Дискретна – скінчена або нескінчена, лічена.
Неперервна –
Def. 2.3 ВВ називається дискретною, якщо у результаті випробування вона приймає окремі, ізольовано розташовані значення. ЇЇ спектр - дискретна множина.
Саме у ДВВ значення позначаються літерами з індексами, які відображають номер випробування.
У нашому курсі ми будемо розглядати ДВВ із скінченим спектром.
Значень ДВВ не достатньо для
досліджень. Оскільки подія (
)
є випадковою, то їй відповідає певна
імовірність:
.
Def. 2.4 Законом розподілу ДВВ називається відображення її спектра на множину імовірностей цих значень.
Оскільки імовірність кожного значення одне число, то закон розподілу є функцією. Три способи, найбільш поширений – табличний.
Табл..
Якщо у першому рядку весь
спектр, події
ПГЕМП і повинна виконуватись умова:
(2.1)
Графічне зображення – полігон, многокутник розподілу.
Приклад. Іспит.
Def. 2.5 Дві ДВВ називається незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, яке значення приймає інша.
Операції на множині ДВВ.
Def. 2.6 Добутком ДВВ
на скаляр (число)
називається ДВВ
яка приймає значення
з імовірностями
.
Приклад.
Нехай дано дві ДВВ таб.
Def. 2.7 Сумою (різницею, добутком)
ДВВ
та
називається ДВВ
(
)
яка приймає усі можливі значення виду
.... з імовірностями:
(2.2)
За умови, що ДВВ незалежні:
(2.3)
Приклади.
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
0.1 |
0.2 |
0.7 |
|
|
1 |
3 |
|
|
0.6 |
0.4 |
Зауваження.
Числові характеристики ДВВ
Def. 2.7 Математичним сподіванням
ДВВ
,
називається сума добутків
її значень на імовірності цих значень:
(2.4)
Приклад.
Властивості:
1.
Незалежність
2.
3.
Наслідки:
;
;
.
Def. 2.8 Центрованою ДВВ
називається ДВВ, що утворюється різницею
між ДВВ та її математичним сподіванням:
(2.5)
Цю різницю також називають відхиленням. (Відхилення значень ДВВ від її математичного сподівання)
Властивість:
.
Дійсно......
Приклади.
Def. 2.9 Дисперсією ДВВ називається математичне сподівання квадрату відповідної центрованої ДВВ. (Квадрату відхилення).
(2.6)
Властивості:
1.
,
2.
(для незалежних)
3.
Наслідки:
;
;
Формула для обчислення:
(2.7)
Доведення:
Приклади:
Def. 2.10 Середнім квадратичним відхиленням називається квадратний корінь із дисперсії.
(2.8)
Виходячи з означення, в багатьох випадках дисперсію виражають через
Приклад
Метод моментів:
або:
(2.9)
|
|
9,60 |
11,60 |
17,60 |
19,60 |
23,60 |
|
|
0,20 |
0,10 |
0,30 |
0,25 |
0,15 |
|
|
18,432 |
13,456 |
92,928 |
96,04 |
83,544 |
304,4 |
|
D(X)= |
22,16 |
|
|
9,60 |
11,60 |
17,60 |
19,60 |
23,60 |
|
|
|
|
|
|
0,20 |
0,10 |
0,30 |
0,25 |
0,15 |
1,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,92 |
1,16 |
5,28 |
4,90 |
3,54 |
16,80 |
|
|
|
|
|
-4,00 |
-3,00 |
0,00 |
1,00 |
3,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,80 |
-0,30 |
0,00 |
0,25 |
0,45 |
-0,40 |
|
M(U)= |
16,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,2 |
0,9 |
0 |
0,25 |
1,35 |
5,7 |
|
D(U)= |
5,54 |
