Теорія імовірностей
-
Головні означення
Def. 1.1. Випробуванням реалізація певного комплексу умов.
Def. 1.2. Подією
результат випробування. Позначається
Def. 1.3. Вірогідною подією (
),
подія, яка обов’язково станеться у
даному випробуванні. Неможливою (
),
подія, яка не станеться у даному
випробуванні. Випадковою подія яка
може статися а може і не статися.
Def. 1.4. Дві події називаються несумісними у даному випробуванні, якщо настання однієї з них робить другу неможливою. У протилежному випадку події називаються сумісними.
Група подій
несумісною у даному випробуванні, якщо
настання однієї з них робить решту подій
неможливими. (Група попарно несумісних
подій).
Def. 1.5. Група подій
повною, якщо у даному випробуванні
станеться хоча б одна з них. (Може одна
або декілька).
Def. 1.6. Група подій
единоможливою, якщо у даному випробуванні
станеться не більше однієї з них. (Може
одна або жодна).
Def. 1.7. Повною групою единоможливих подій група подій така, що у даному випробуванні стається одна і тільки одна з них. (Має властивості 1.5. та 1.6.).
Операції на множині подій
Def. 1.8. Сумою двох подій
і
подія, яка полягає у т ому, що стається
або подія
,
або подія
або вони обидві стаються. (Об’єднання).
Закони, яким підпорядкована операція:
Def. 1.9. Добутком двох подій
і
подія, яка полягає у т ому, що стається
і подія
і подія
.
(Перетин).
Закони, яким підпорядкована операція:
Унарна операція – „заперечення”
Def. 1.10. Запереченням події
у даному випробуванні називається
подія, яка полягає у тому, що подія
не сталася. Позначається
.
Def. 1.11. Дві події називаються рівноможливими у даному випробуванні, якщо нема підстав вважати настання однієї з них більш очікуваним ніж іншої.
Def. 1.12. Елементарними у даному випробуванні називаються події, які утворюють повну групу единоможливих та рівноможливих подій.
Def. 1.13. Подія
називається сприяючою до події
у даному випробування, якщо при настанні
події
подія
також станеться.
А з настання події
не випливає настання події
.
Класичне означення імовірності
Def. 1.14. Імовірністю події
відношення кількості елементарних
подій, що сприяють події
до загальної кількості елементарних
подій у даному випробуванні.
(1.1)
Властивості:
.
Узагальнюючи,
(1.2)
Це, класичне означення
імовірності є теоретичним, або апріорним.
Дійсно, (кубик
знаходяться без проведення випробування,
„до опыта”).
Апостеріорне або емпіричне означення імовірності
Нехай проводиться
випробувань, в кожному з них може статися
подія
.
Зафіксуємо кількість появ даної події,
.
Це число частотою появ, або просто,
частотою події
.
Def. 1.15. Відносною частотою або
частістю події
відношення частоти до загальної
кількості випробувань:
(1.3)
Таких експериментів проводять
багато, можливо, з різними кількостями
випробувань. Позначимо частіть у
-тому
експерименті
.
Ми отримаємо числову послідовність
,
,...
,...,яку
можна зробити як завгодно довгою.
Def. 1.16. Емпіричною імовірністю
настання події
границя:
,
(1.4)
якщо вона існує.
Геометричне означення імовірності
У багатьох задачах кількість
елементарних подій у випробуванні є
нескінченною. Зрозуміло, що використання
формули (1.1) у цьому випадку неможливо.
Якщо всі елементарні події є рівноможливими,
пропонується ототожнювати їх з точками,
які кидаються деяку фігуру – лінійну,
плоску або об’ємну. Позначимо її
.
Тоді сприяючі події утворять деяку
підмножину
.
Def. 1.17. Геометрична імовірність
події
- відношення мір:
,
(1.5)
де
1) Прилет самолета. 2) Круг в квадрате.