1. Что означает понятие «экономическая модель»?

2. Классификация экономических моделей.

3. Классификация решаемых экономических задач.

4. Какое решение является оптимальным?

5. Дать определение показателя эффективности.

Глава 2. Линейное программирование

§ 1 Общая постановка задачи

Линейное программирование — наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений.

Определение

Математическое выражение целевой функции и ее ограничений называется математической моделью экономической задачи.

В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЛП) записывается как

Z(x)=C₁X₁+C₂X₂ + …+С_JX_J +...+С_nX_n max(min)

при ограничениях:

где X_i — неизвестные; a_ij, b_j, C_i — заданные постоянные величины.

Все или некоторые уравнения системы ограничений могут быть записаны в виде неравенств.

Математическая модель в более краткой записи имеет вид

Z(x) = ∑C_i X_i max(min)

при ограничениях:

Определение

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется вектор X = (х₁, х₂, ,...х_n , ), удовлетворяющий системе ограничений.

Множество допустимых решений образует область допус­тимых решений (ОДР).

Определение

Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным решением задачи линейного программирования и обозначается Х_опт.

Базисное допустимое решение

Является опорным решением, где r - ранг системы ограничений.

Виды математических моделей ЛП

Математическая модель задачи ЛП может быть канонической и неканонической.

Определение

Если все ограничения системы заданы уравнениями и переменные Xj неотрицательные, то такая модель задачи называется канонической.

Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи ЛП является неканонической. Чтобы перейти от неканонической модели к канонической, необходимо в каждое

неравенство ввести балансовую переменную х_n+i.

Если знак неравенства <, то балансовая переменная вводится со знаком плюс, если знак неравенства >, то — минус. В целевую функцию балансовые переменные не вводятся.

Чтобы составить математическую модель задачи ЛП, необходимо:

— вести обозначения переменных;

— сходя из цели экономических исследований, составить целевую функцию;

— считывая ограничения в использовании экономических показателей задачи и их количественные закономернос­ти, записать систему ограничений.

§ 2 Двойственность в задачах линейного программирования

Каждая задача линейного программирования, называемая прямой или исходной, тесно связана с другой задачей, ее называют двойственной.

Математические модели этих задач имеют следующий вид.

прямая задача:

двойственная задача:

Эти задачи экономически могут быть сформулированы следующим образом.

Прямая задача: сколько и какой продукции х_i(i-1, 2, … , n) надо произвести, чтобы при заданных стоимостях единицы продукции С_i, объемом имеющихся ресурсов b_j (j=1,2,…, m) и нормах расхода ресурсов а_ij максимизировать выпуск продукции в стоимостном виде.

Двойственная задача: какова должна быть оценка единицы каждого ресурса y_j (j=1, 2,…, m), чтобы при заданных b_j, c_i и а_ij минимизировать общую оценку затрат на все ресурсы.