Пример №1

Найти оптимальные стратегии 1-го игрока, исходя из различных критериев, в игре с полной неопределенностью относительно второго игрока, заданной платежной матрицей:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₄ 5 10 18 25

а₂₁ а₂₂ а₂₃ а₂₄ 8 7 8 23

А = а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₄ ; А = 21 18 12 21

а₄₁ а₄₂ а₄₃ а₄₄ 20 22 19 15

Решение.

1. Максиминный критерий Вальда. max min а_ij

^{i j}

Вычислим минимальные значения по строкам min а_ij, а далее из них выберем максимальное.

5 10 18 25 5

А = 8 7 8 23 7

21 18 12 21 12

20 22 19 15 15

Таким образом, получаем Н = max min а_ij = 15 при применении стратегии А₄. ^{i j}

Ответ: оптимальной стратегией 1-го игрока А является

стратегия А₄.

2. Критерий Гурвица.

Параметр Гурвица возьмем равным γ=0,6: γ= min а_ij+(1-γ) max а_ij

5 10 18 25 5 25 5*0,6+0,4*25=13

А = 8 7 8 23 7 23 7*0,6+0,4*23=13,4

21 18 12 21 12 18 12*0,6+0,4*18=14,4

20 22 19 15 15 22 15*0,6+0,4*22=17,8

Получаем H = max[0.6 min а_ij+(1-0.6) max а_ij]=17.8

^{i j}

Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является

стратегия А₄.

3. Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска).

Необходимо построить матрицу рисков.

Для этого:

1) вычислить максимальные значения по столбцам

5 10 18 25

А = 8 7 8 23

21 18 12 21

20 22 19 15

21 22 19 25

2) вычислить матрицу рисков: r_ij= max а_ij- а_ij

21-5 22-10 19-18 25-25 16 12 1 0

r_ij= 21-8 22-7 19-8 25-23 = 13 15 11 2

21-21 22-18 19-12 25-21 0 4 7 4

21-20 22-22 19-19 25-15 1 0 0 10

3) вычислить максимальные значения по строкам и из них выберем строку с минимальным значением:

16 12 1 0 16

13 15 11 2 15

r_ij= 0 4 7 4 7

1 0 0 10 10

Получаем H = min max r_ij = 7 при применении стратегии А₃.

^{i j}

Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является

стратегия А₃.