Вариант № 1

1. Вычислить криволинейные интегралы:

а) , где - отрезок прямой, соединяющий точки и ;

б) , где - окружность ; в) , где : от точки до ; г) , где : .

2. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом функции . Найти эту функцию. Результат проверить.

3. С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где - пробегаемый в положительном направлении контур с вершинами .

4. Вычислить поверхностный интеграл по поверхности , где - часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями:

.

5. Определить координаты центра масс однородной поверхности:

6. Вычислить поверхностный интеграл: , где - верхняя сторона плоскости , отсеченной координатными плоскостями.

7. Вычислить с помощью теоремы Остроградского – Гаусса: , где - внешняя сторона полной поверхности .

8. Вычислить интеграл, используя формулу Стокса: , где - эллипс , ориентированный отрицательно относительно вектора .

9. Найти производную функции u (x, y, z) в точке M по направлению , если

u = x ( ln y - arctg z ), = 8+ 4+ 8, M(-2, 1, -1).

10. Вычислить поток векторного поля (M) через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью (p) и координатными плоскостями, двумя способами: а) использовав определение потока; б) с помощью формулы Остроградского - Гаусса, если (M) = 3x+ ( y + z )+ ( x - z ), (p): x + 3y + z = 3.

11. Вычислить циркуляцию векторного поля (M) по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости (p): 2x + y + 2z = 2 с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора плоскости (p) двумя способами: а) использовав определение циркуляции; б) с помощью формулы Стокса, если

(M) = z+ ( x + y )+ y.

12. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля (M) = x- xy+ z в точке M(0, 1, -2).

13. Выяснить является ли векторное поле (M) = xy- 2xy+ 2xyz соленоидальным.

Вариант № 2

1. Вычислить криволинейные интегралы:

а) , где - контур треугольника с вершинами , , ;

б) , где - окружность ; в) , где - отрезок прямой от точки до ; г) , где : от точки до .

2. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом функции . Найти эту функцию. Результат проверить.

.

3. С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где - окружность .

4. Вычислить поверхностный интеграл по поверхности , где - часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями: .

5. Определить координаты центра масс однородной поверхности:

6. Вычислить поверхностный интеграл: , где - внешняя сторона сферы , лежащая в первом октанте.

7. Вычислить с помощью теоремы Остроградского – Гаусса: , где - внешняя сторона поверхности тетраэдра .

8. Вычислить интеграл, используя формулу Стокса: , где - граница треугольника с вершинами в точках , , , ориентированная положительно относительно вектора .

9. Найти производную функции u (x, y, z) в точке M по направлению , если

u = ln ( 3 - x) + xyz, = -+ 2- 2, M(1, 3, 2).

10. Вычислить поток векторного поля (M) через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью (p) и координатными плоскостями, двумя способами: а) использовав определение потока; б) с помощью формулы Остроградского - Гаусса, если (M) = (3x -1)+ ( y - x + z )+ 4 z, (p): 2x - y - 2z = 2.

11. Вычислить циркуляцию векторного поля (M) по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости (p): 3x + 2y + z = 6 с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора плоскости (p) двумя способами:

а) использовав определение циркуляции; б) с помощью формулы Стокса, если

(M) = (x +z)+ z+ (2x-y).

12. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля (M) = xy+ yz+ xz в точке M(2, 0, 3).

13. Выяснить является ли векторное поле (M) = (yz – 2x)+ (xz + zy)+ xy потенциальным.

Вариант № 3

1. Вычислить криволинейные интегралы:

а) , где - отрезок прямой между точками и ;

б) , где - первый виток винтовой линии ;

в) , где : от точки до ; г) , где : от точки до .

2. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом функции . Найти эту функцию. Результат проверить. .

3. С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где - эллипс .

4. Вычислить поверхностный интеграл по поверхности , где - часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями: .

5. Определить координаты центра масс однородной поверхности: .

6. Вычислить поверхностный интеграл: , где - часть поверхности параболоида (нормальный вектор которой образует тупой угол с ортом ), вырезаемая цилиндром .

7. Вычислить с помощью теоремы Остроградского – Гаусса: , где - внутренняя сторона сферы .

8. Вычислить интеграл, используя формулу Стокса: , где - окружность , ориентированная положительно относительно вектора .

9. Найти производную функции u (X, y, z) в точке m по направлению , если

u = sin(x +2y) + , = 4+ 3, M(, , 3).

10. Вычислить поток векторного поля (M) через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью (p) и координатными плоскостями, двумя способами: а) использовав определение потока; б) с помощью формулы Остроградского - Гаусса, если

(M) = x+ ( x + z )+ ( y + z ), (p): 3x + 3y + z = 3.

11. Вычислить циркуляцию векторного поля (M) по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости (p): 2x + 2y + z = 2 с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора плоскости (p) двумя способами:

а) использовав определение циркуляции; б) с помощью формулы Стокса, если

(M) = (y + z)+ x+ (y -2z).

12. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля (M) = xy+ yz- x в точке M(1, -2, 0).

13. Выяснить является ли векторное поле (M) = xz+ y- xz гармоническим.

Вариант № 4

1. Вычислить криволинейные интегралы:

а) , где - первая арка циклоиды ; б) , где - дуга окружности ; в) , где : от точки до ; г) , где - контур треугольника с вершинами , , .

2. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом функции . Найти эту функцию. Результат проверить.

.

3. С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где - пробегаемый в положительном направлении контур треугольника с вершинами в точках , , .

4. Вычислить поверхностный интеграл по поверхности , где - часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями: .

5. Определить массу, распределенную по части эллиптического параболоида , с плотностью .

6. Вычислить поверхностный интеграл: , где - часть поверхности параболоида (нормальный вектор которой образует тупой угол с ортом ), отсекаемая плоскостью .

7. Вычислить с помощью теоремы Остроградского – Гаусса: , где - сфера .

8. Вычислить интеграл, используя формулу Стокса: , где - окружность , ориентированная положительно относительно вектора .

9. Найти производную функции u (X, y, z) в точке m по направлению , если

u = xyz - ln (z - 1), = 5+ 6+ 2, M(1, 1, 2).

10. Вычислить поток векторного поля (M) через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью (p) и координатными плоскостями, двумя способами: а) использовав определение потока; б) с помощью формулы Остроградского - Гаусса, если

(M) = (x + z)+ (z - x)+ (x +2y + z ), (p): x + y + z = 2.

11. Вычислить циркуляцию векторного поля (M) по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости (p): x + 3y + 2z = 6 с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора плоскости (p) двумя способами:

а) использовав определение циркуляции; б) с помощью формулы Стокса, если

(M) = (2y -z)+ ( x + 2y )+ y.

12. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля (M) = xz+ z+ yz в точке M(3, 0, 1).

13. Выяснить является ли векторное поле (M) = (yz - 2x)+ (xz + 2y)+ xy соленоидальным.

Вариант № 5

1. Вычислить криволинейные интегралы:

а) , где - отрезок прямой от точки до ; б) , где - окружность ; в) , где - отрезок прямой от точки до ; ; г) , где : от точки до точки .

2. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом функции . Найти эту функцию. Результат проверить. .

3. С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где -эллипс , пробегаемый в положительном направлении.