Контрольные вопросы и упражнения

1. Приведите 2—3 распространенных в литературе определения понятия «математика».

2. Какие аксиомы и постулаты привел Евклид в своих «Началах» в III в. до н.э.?

3. Определите основные этапы становления современной математики.

4. В чем состоят достоинства и недостатки математического языка?

5. В чем особенность математической индукции?

6. В чем заключается сущность аксиоматического метода?

Сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника - теории множеств.

Н. Бурбаки

2. Теория множеств

Одним из методов математики является метод применения абстракции, при которой не принимаются во внимание некоторые конкретные обстоятельства. Это неизбежно приводит к возникновению понятия множества - основного понятия математики. Язык теории множеств, включающий большое число различных понятий и связей между ними, все глубже проникает в литературу. Поэтому надо понимать этот язык и уметь им пользоваться.

Было бы неправильно переоценивать теорию множеств: это всего-навсего удобный язык, и, если вы в совершенстве владеете им и больше ничего из математики не знаете, едва ли от этого будет прок. Наоборот, если вы знаете «много математики» и совсем незнакомы с теорией множеств, вы, возможно, достигнете успехов. Но если вы знаете что-то и из теории множеств, вы будете значительно лучше понимать язык математики.

2.1. Множества. Операции над множествами

Понятие множества является ключевым в математике, без которого невозможно изложение ни одного из ее разделов. Подсознательно первые представления о множестве у человека начинают формироваться с рождения, когда он погружается в удивительно многообразный мир окружающих его объектов и явлений. В нем уже генетически заложены возможности ускоренно воспроизвести весь опыт общения с этим миром, накопленный человечеством за многовековую историю. Уникальность этого генетического потенциала прежде всего и отличает человека от других существ. С первых же шагов мы не просто пополняем список знакомых нам объектов и явлений, а начинаем дифференцировать и классифицировать (горячие и холодные, сладкие и горькие, тяжелые и легкие, красные и зеленые и т.п.), объединяя тем самым объекты в некоторые совокупности. Первый же опыт общения с ними убеждает нас и в том, что каждый объект имеет сложную структуру (кто из нас не ломал ни одной игрушки, пытаясь выяснить из чего она состоит), представляет собой как бы определенную совокупность других объектов, из которых, как из составляющих, состоит сам.

Множество — первичное понятие математики, т. е. это понятие не определяется через другие, а только поясняется. Создатель теории множеств Г. Кантор (1845-1918) определил множество как «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью», а также «множество есть многое, мыслимое нами как единое». Разумеется, эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такого определения не существует, поскольку понятие множества является исходным, на основании которого строятся остальные понятия математики, т.е. множество является основным строительным материалом математики.

Множество — это совокупность каких-либо объектов. Так, можно говорить о множестве целых чисел, о множестве точек на прямой, о множестве жителей города и т.д. Объекты, входящие в данное множество, называются элементами множества. Элементами множеств могут быть самые разнообразные предметы: буквы, числа, функции, точки, углы, люди и т.д. Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к очень многим областям знания.

Множества, состоящие из конечного числа элементов (причем неважно, известно это число или нет, главное, оно существует), называются конечными, а множества, состоящие из бесконечного числа элементов, — бесконечными.

Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, X, am. элементы малыми a, b, х.

Запись х  X означает, что объект х есть элемент множества X. Если х не принадлежит множеству X, то пишут х  X.

Запись А  В (множество А содержится в В) означает, что каждый элемент множества А принадлежит В. В этом случае множество А называют подмножеством множества В.

Множества А и В называют равными (А = В), если В  А и А  В. Например, множества А = {3, 5, 7, 9} и В = (7, 3, 9, 5} равны, так как состоят из одинаковых элементов.

Если множество не содержит ни одного элемента, то его называют пустым и обозначают символом .

Совокупность допустимых объектов называют основным (универсальным) множеством (обычно U). Множество задают либо перечислением его элементов, либо описанием свойств множества, которые четко определяют совокупность его элементов. При втором способе множество обычно определяется как совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества Т, которые обладают свойством а. В этом случае используют обозначение А = {х  Т: (х)}.

Например, множество А = {1, 2, 3, 4, 5} равно А = {xN :x<6} и А={xN: 0,5<х<5,9}, где N — множество натуральных чисел.