5.2. Предел функции

Определение. Число А называется пределом функции f (х) при хx₀, если она определена в некоторой окрестности точки х₀, исключая, может быть, саму эту точку, и каково бы ни было число >0, всегда можно указать такое число >0, что из выполнения неравенства следует выполнимость неравенства (рис. 9).

Если число А является пределом функции f(х) при хх₀, пишут

В практике вычисления пределов большое место занимают так называемые 1-й и 2-й замечательные пределы:

(здесь х — радианная мера угла) и

где е — 2,71828... — иррациональное число, служащее основанием натуральных логарифмов, обозначаемых ln х.

Предел — важнейшее понятие математики. Понятие предела опирается на интуитивное представление о процессе изменения и неограниченного приближения. Точное математическое определение предела оформилось в математике лишь в начале XIX в. В связи с этим потребовалось уяснить понятие функции, а также развить теорию действительного числа. До этого почти два столетия в математике существовало интуитивное представление о пределе, однако и оно оказалось чрезвычайно плодотворным, так как внесло в математику совершенно новый метод рассуждений — метод пределов. Применение и развитие метода пределов привели к созданию дифференциального и интегрального исчислений, и математического анализа.

Суть метода состоит в том, что для определения неизвестной величины находят ее приближения, при этом не одно-два, а неограниченное число приближений. Если эти приближения становятся все более точными, отличаются от определяемой величины все меньше и меньше, то сама величина находится как предел этих приближений.

Подобных рассуждений древнегреческая математика не знала. Если в ней и рассматривались приближения, как, например, у Евдокса и Архимеда в их «методе исчерпывания» при определении площадей и объемов, то число этих приближений было невелико, и, кроме того, установление равенства между искомой и уже известной площадью (или объемом) проводилось элементарными геометрическими методами. Теперь же, в методе пределов, строятся бесконечные приближения и неизвестная величина определяется как предел.

Метод пределов не возник в математике сам собой, он оформился постепенно, как результат труда многих математиков, которые начали рассматривать новые для своего времени задачи, не решаемые элементарными методами. Это были задачи определения размеров тел и центра их тяжести, нахождения длин кривых, построения касательных к кривым, установления мгновенной скорости при неравномерном движении. Постепенно накапливался опыт и вырабатывались решения подобных задач в общей постановке, например задач, когда требовалось определить мгновенную скорость не в данном конкретном движении, а в любом, если только была известна зависимость пути от времени. Это привело к формированию на основе понятия предела новых понятий интеграла и производной, созданию математического анализа. Очевидно, что применение метода пределов потребовало развития способов вычисления пределов, установления правил действий с пределами, т. е. создания теории пределов. Основным в этой теории стало понятие бесконечно малой -- переменной, предел которой равен нулю. В этот период математический анализ назывался анализом бесконечно малых.

lim — это первые буквы латинского слова limes, которое означает «предел». Слово limes для обозначения предела впервые употребил И. Ньютон, символ lim ввел французский ученый С. Люилье в 1786 г., а выражение lim первым записал англичанин У. Гамильтон в 1855 г.

Примеры.

1. Найти предел

Используя теоремы о пределах, находим

2. Если предел знаменателя равен нулю, а предел числителя не равен нулю, то предел дроби равен бесконечности:

Если имеем неопределенность вида или , необходимы преобразования.

3.

Числитель и знаменатель дроби при х=1 равны 0. Выполним тождественные преобразования:

Функции совпадают в окрестности точки х=1, (х1), поэтому их пределы равны при х1:

4.

Преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель на х²:

Упражнения.

Контрольные вопросы и упражнения

1. Какая функция называется четной, а какая нечетной? Какова особенность в расположении графиков этих функций?

2. Каким образом можно получить график обратной функции? Приведите пример.

3. Найдите область определения функции .

4. Перечислите основные классы элементарных функций. Приведите примеры.

5. Сформулируйте определение предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и бесконечности.

6. Найдите пределы:

7. Запишите два замечательных предела.

8. Приведите пример, когда предел не существует.

Открытие исчисления бесконечно малых дало математикам возможность свести законы движения тел к аналитическим уравнениям.

Ж. Л. Лагранж