Учебное издание

Павел Власович Грес математика для гуманитариев

Учебное пособие

Редактор Л. И. Кузнецова

Оформление Е, Молчанова и С, Носова

Компьютерная верстка Т. В. Клейменова

Корректор-Г.-б1. Абудеева,Д. Андриевская

Содержание

Предисловие 2

Предисловие к первому изданию 4

I. Методологические проблемы математики 7

1.1. Предмет математики 7

1.2. Математический язык: особенность, становление и развитие 11

1.3. Геометрия Евклида — первая естественно-научная теория 15

1.4. Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории, в том числе в гуманитарных науках 18

2. Теория множеств 22

2.1. Множества. Операции над множествами 22

2.2. Множества и отношения 26

3. Элементы дискретной математики 31

3.1. Элементы комбинаторики 31

3.1.1. Основные правила комбинаторики 31

3.12. Размещения 31

3.13. Перестановки 32

3.14. Сочетания 32

3.2. Элементы теории графов 33

4. Элементы математической логики 36

4.1. Сущность математической логики 36

4.2. Особенности математической логики 37

5. Введение в математический анализ 41

5.1. Понятие функции 41

5.2. Предел функции 42

6. Дифференциальное исчисление 46

6.1. Производная. Правила и формулы дифференцирования 46

6.2. Приложения производной 48

6.2.1. Исследования на экстремум 48

6.2.2. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 48

6.2.3. Вычисление пределов: раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) 49

7. Интегральное исчисление 50

7.1. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования 50

7.2. Определенный интеграл 52

8. Дифференциальные уравнения 55

9. Основы теории вероятностей и математической статистики 57

9.1. Событие и вероятность: основные понятия, определение вероятности 58

9.1.1. Понятие о случайном событии 58

9.1.2. Определение вероятности 59

9.13. Алгебра событий 60

9.2. Случайные величины 62

9.3. Основные понятия математической статистики 63

10. Математическое моделирование и принятие решений 67

10.1. Математические методы и моделирование в целенаправленной деятельности 67

10.2. Исследование операций и принятие решений 70

Варианты заданий для самостоятельной работы 77

Задание 1 77

Задание 2 78

Задание 3 80

Задание 4 81

Программа курса 84

ИЗВЛЕЧЕНИЯ 86

из государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования 86

Библиографический список 87

У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных.

Ч.Дарвин

Предисловие

Математика - слово греческого происхождения. То, что греки назвали mathema — познание, наука, было известно до них и, по-видимому, задолго. Греки смогли впервые понять и по достоинству оценить это знание, придать ему системный характер и включить в исходное понятие философии — понятие «бытие», через которое они выражали идею единства мира. Математика, наряду с астрономией, медициной, архитектурой, стоит у истоков современной науки, о чем свидетельствуют, в частности, «Начала» Евклида, книга о геометрии, написанная им в III в. до н.э. Используя математику, Г. Галилей и И. Ньютон создали первую научную механическую теорию.

Становление гуманитарных наук по времени совпадает с историей математики. Развитие гуманитарных знаний и математики не было параллельным движением, оно неоднократно пересекалось: И. Ньютон, Б. Спиноза, Г. Лейбниц, Ф. Энгельс. В XX в. ранее крайне неустойчивый союз математики и гуманитарных наук укрепился настолько, что появилась насущная потребность учитывать его наличие в вузовском образовании. Во многом эта метаморфоза объясняется принципиальным изменением мнения о познавательном потенциале математики. Длительное время математику рассматривали только в технологическом ракурсе, в качестве инструментария. Эвристическая функция математики раскрылась на рубеже XIX и XX вв.

В гуманитарных науках значение математики так же огромно. Почему? Математика имеет дело с возможными мирами структур, упорядоченными совокупностями объектов. Любая гуманитарная наука изучает некоторую общность объектов, свойства и отношения, присущие им. Таким образом, математика раздвигает область своего приложения и актуализирует ее. К исследовательскому аппарату гуманитарных наук подключаются огромнейшие резервы математики, накопленные ею за тысячелетия.

Математика решающим образом способствует установлению упорядоченности гуманитарных структур. Математику можно уподобить оптическому прибору, позволяющему рассмотреть невидимое для обычного зрения. Она открывает нам структурные отношения объектов социального познания и предоставляет исключительно эффективный математический аппарат. Тот, кто не владеет математикой, не способен проникнуть в глубинные структурные отношения сложных динамически меняющихся объектов.

Начиная с древности, математику широко использовали в социальной практике людей, например, в строительном, военном искусстве. И, тем не менее, включение математики в практическую социокультуру оставалось ограниченным. Оно становится по-настоящему эффективным лишь тогда, когда осуществляется математизация самосознания. Математизация гуманитарных наук способствует познанию, управлению, прогнозированию и профилактике кризисных явлений, которыми насыщена современная историческая ситуация.

В сочетании с информатикой и ЭВМ математика становится междисциплинарным инструментарием, выполняющим две основные функции: во-первых, позволяет определять цели поступков людей и условия их достижения; во-вторых, анализировать широкий спектр возможных ситуаций и намечать оптимальные решения посредством использования математических моделей. Математическое моделирование признается обязательным этапом, предшествующим принятию ответственного решения в экономике, финансовых и банковских операциях, в планировании развития, определении структуры и ориентации социальных подразделений, в избирательных кампаниях.

Математизация гуманитарного образования ориентирована не только на обучение математическому мышлению, но и на развитие с помощью математики самого профессионального мышления гуманитариев. В соответствии с чем приоритетной задачей обучения математике в гуманитарных вузах становится не изучение основ математической науки как таковой, а общеинтеллектуальное развитие — формирование у студентов в процессе изучения математики мышления, необходимого для полноценного функционирования человека в современном обществе. Конкретные математические знания выступают базой организации полноценной в интеллектуальном и идейном отношении деятельности.

Содержание пособия находится с строгом соответствии с действующим государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования второго поколения. Оно учитывает особенности подготовки бакалавров по всем гуманитарным и социально-экономическим направлениям.

Автор выражает глубокую благодарность доктору философских наук, профессору В.А. Канке: его ценные предложения и замечания способствовали совершенствованию настоящего издания.

Автор учтет все замечания к книге и рекомендации по ее улучшению, которые просит направлять в издательство.

Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы; но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий.

Козьма Прутков