6. Дифференциальное исчисление
Дифференциальное исчисление — это раздел математического анализа, связанный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции. В дифференциальном исчислении изучаются правила вычисления производных (законы дифференцирования) и применение производных к исследованию свойств функций.
Центральные понятия дифференциального исчисления — производная и дифференциал — возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них — физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой.
6.1. Производная. Правила и формулы дифференцирования
Производная функции f в точке х0 есть скорость изменения функции f в этой точке.
Геометрическое толкование производной. Производная функции f в точке х0 определяется тангенсом угла наклона касательной, проведенной к графику функции f в точке х = x0.
Исходя из этого, выражение «производная от моего настроения по времени положительна» на обычный язык переводится как «мое настроение улучшается».
Задача-шутка. Какой знак имеет производная от настроения по расстоянию до кресла зубного врача?
Легко показать, что, приравнивая к нулю производную, можно найти те значения независимой переменной, при которых функция может иметь максимум или минимум, т. е. экстремум.
В «критических» (подозрительных на максимум и минимум) точках, где функция достигает максимума, производная переходит от положительных значений к отрицательным (или вторая производная — производная от производной ~ отрицательна); для минимума все наоборот.
Операцию получения функции f'(x) из функции f(x) называют дифференцированием функции f(х).
Техника нахождения производных (или, как часто говорят, техника дифференцирования) сравнительно простое и более легкое дело, чем, например, решение алгебраических уравнений. Формулы для производных нередко оказываются даже проще (или, во всяком случае, не сложнее), чем формулы для самих исходных функций.
Основные правила дифференцирования
«цепное правило».
Для нахождения производных не надо ждать вдохновения; здесь не нужны изобретательность, выдумка, озарение, ибо задача всегда решается с помощью ряда простых правил.
Основные формулы для производных:
Примеры.
1. Пусть y=3x2-6x+5.
Тогда y’=(3x2)’-(6x)’+(5)’=3*2x-6*1+0=6x-6.
2. Пусть y=-4x3+2x-2-3.
Тогда y’=-4*3x2+2*(-2)x-3-0=-12x2-4x-3.
3.
Найти y’,
если
Положив U=7x3+5, V=x-2 и используя приведенную формулу, имеем:
4. Пусть f=(3х2+5)(2x-4); требуется найти f’(x), и в частности f’(0).
Здесь U=3x2+5, V=2x-4. Тогда U’=3*2x+0=6x, V’=2-0=2. Поэтому f’(x)=UV’+VU’=(3x2+5)*2+(2x-4)*6x=18x2-24x+10, в частности
Упражнения. Найти производные функций:
6.2. Приложения производной
6.2.1. Исследования на экстремум
|
Исследование функций |
|
|
Первая производная |
|
|
Аналитические признаки возрастания и убывания |
Исследования на экстремум |
|
Вторая производная |
|
|
Аналитические признаки выпуклости и вогнутости |
Исследование на точки перегиба |
Пример. Число 64 разбить на две части, которые в произведении давали максимум.
Обозначим две искомые части а и b. Тогда a + b = 64. Требуется найти максимум произведения, т. е. исследовать на экстремум функцию у=ab, или у= а(64—а).
Возьмем производную у'=64—2а и приравняем ее к нулю:
64 - 2а = 0 откуда а = 32. Тогда b = 64 — а = 64 - 32 = 32, а ymax = ab = 32*32=1024.
Упражнения.
1. Нужно огородить с трех сторон участок прямоугольной формы, прилегающей к длинной стене. Из имеющегося материала можно сделать забор длиной 120 м. Каковы должны быть размеры забора, чтобы площадь, обнесенная им, была наибольшей?
Ответ. 30 и 60м.
2. Прямоугольный участок площадью 600 м2 требуется огородить забором. Вследствие дополнительной отделки каждый погонный метр забора, выходящего на улицу, в два раза дороже метра забора, отделяющего участок от соседей. При какой длине забора, выходящего на улицу, стоимость его будет минимальной?
Ответ. 20 м.
3. Исследовать на экстремум функцию у = х3 -9х 2+ 24x-12.
Ответ. уmin = у(4) = 4; уmax = у(2) = 8.