9.2. Случайные величины

Основные понятия:

Случайная величина
Дискретная	Непрерывная

Математическое ожидание

Дисперсия

Основные законы распределения
Дискретные величины	Непрерывные величины
Равномерное распределение	Равномерное (прямоугольное) распределение
Биноминальное распределение	Экспоненциальное (показательное) распределение
Распределение Пуассона	Нормальное распределение

Случайная величина — переменная величина, конкретное значение которой зависит от случая. Например, температура воздуха в 12 ч. дня 1 июля в Новосибирске; номер грани, выпадающий при бросании кости; скорость автомобиля в данный момент времени и т.д.

Для характеристики случайной величины необходимо знать множество возможных значений этой величины и вероятности, с которыми она может принимать эти значения. Эти данные образуют закон распределения случайной величины. Например, распределение числа очков при бросании игральной кости описывается равными вероятностями 1/6 для каждого значения от 1 до 6.

Множество возможных значений дискретной случайной величины конечно (или счетно). Встречаются также непрерывные случайные величины, возможные значения которых заполняют всю числовую ось (или некоторые интервалы).

Непрерывную случайную величину А следует задавать не указанием вероятностей ее отдельных значений, а непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией, называемой плотностью распределения вероятностей случайной величины А.

Часто встречается нормальное распределение или распределение Гаусса. На рис. 13 показаны два варианта плотности нормального распределения.

Дискретной случайной называют величину X, которая принимает отдельные значения х_i с вероятностями р_i . Ее законом распределения называют соответствие между возможными значениями х_i и их вероятностями р_i. Следует заметить, что  р_i .= 1. Важные характеристики случайной величины -математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание М(Х) определяется как среднее взвешенное по формуле

Термин «математическое ожидание» связан с представлением о среднем или наиболее ожидаемом выигрыше в теории азартных игр.

Пример. Пусть в некоторой лотерее на каждый билет вероятность выиграть 100 р. - 3%, 1000 р. - 0,5%, 10000 р. -0,01%, других выигрышей нет.

Каков средний выигрыш в лотерее (на один билет)?

Средний выигрыш подсчитать по формуле математического ожидания

0,03x100 + 0,005x1000 + 0,0001x10000 = 9 р.

Дисперсия⁴ D(Х) случайной величины Охарактеризует разброс возможных ее значений относительно математического ожидания и определяется по формуле

D(X) = М [X-М (X)]².

Для детерминированной величины, принимающей только одно значение х₀, математическое ожидание равно х₀ а дисперсия равна нулю.

Понятие случайного (стохастического) процесса является расширением понятия случайной величины. Можно сказать, что случайный процесс - это семейство случайных величин, эволюционирующих во времени.