Контрольные вопросы и упражнения
-
Запишите (для ^ и v) закон поглощения и перестановочный (коммутативный) закон.
-
В чем суть закона противоречия и закона исключенного третьего.
-
Докажите один из законов поглощения p v (p^q)p v q.
-
Докажите справедливость законов де Моргана:
(р v q) р ^ q;
(р ^ q) р v q.
-
Докажите, что нижеприведенные формулы всегда истинны:
(((p v (q ^ r)) v (q)) v (p));
р ^ д р v q.
Математический анализ не менее всеобъемлющ, чем сама природа; он определяет все ощутимые взаимосвязи, измеряет времена, пространства, силы, температуры... Его главный атрибут ~ ясность; в нем совершенно не имеется знаков для выражения туманных понятий.
Ж. Фурье
5. Введение в математический анализ
Возникновение высшей математики, т. е. дифференциального и интегрального исчисления, явилось переломным моментом в истории человеческой культуры. Сегодня, когда современная наука раздвинула рамки видимого мира, понятия производной и интеграла стали необходимым элементом. Без этих понятий невозможно описывать и исследовать переменные величины и функции, характеризующие зависимости одних величин от других.
5.1. Понятие функции
Пусть X и Y — произвольные непустые множества (рис. 8).
Рис. 8: х Х- независимая переменная (аргумент); у Y-зависимая переменная (функция)
Определение. Если каждому элементу х Х по какому-то правилу f поставлен в соответствие элемент у Y, то говорят, что задано отображение множества X в множество Y.
В случае, когда множества X и Y нечисловые, отображение называется оператором; отображение нечислового множества X в числовое множество Y — функционалом; отображение числового множества X в числовое множество Y — функцией.
Определение. Отображение числового множества X в числовое множество Y называется функцией и обозначается у = f (x).
Множество X называется областью определения (существования) функции, а множество Y— множеством ее значений; х X — независимой переменной, или аргументом, у Y— зависимой переменной, или функцией.
Способы задания функции:
-
аналитический;
-
графический;
-
табличный;
-
алгоритмический.
Типы функций:
-
четные и нечетные;
-
периодические;
-
монотонные;
-
ограниченные.
Множество точек плоскости (х, f(x)), где х Х, называется графиком функции у = f (х).
Функция считается заданной, если известно правило f, по которому каждому значению аргумента х Х можно найти соответствующее значение функции у. Наиболее распространенным заданием функции является аналитическое задание, т. е. выражение правила f некоей формулой или группой формул.
Иногда функция задается графиком или таблицей. Ясно, что формула «сильнее» любой таблицы. Формула содержит не только сведения, приведенные в данной таблице, но и позволяет найти значения функции также и при значениях независимой переменной, не содержащихся в таблице. Однако таблица удобнее формулы, так как с ее помощью можно быстрее найти значение у при данном х, если значение х есть в таблице. Таблица нагляднее сложной формулы, по которой зачастую трудно оценить значения, принимаемые функцией; однако простая формула позволяет быстрее представить себе ход функции, чем невыразительный ряд чисел (таблица).
Часто встречается такое положение, когда теории интересующего нас явления еще нет, но есть результаты опытов (экспериментов, проб); при этом результаты опытов занесены таблицу. В этом случае практически всегда (даже «вручную», а с использованием компьютера тем более) можно подобрать приближенную формулу, которая правильно описывает функциональную зависимость и не дает больших ошибок при интерполяции2, т. е. при переходе от известных значений аргумента к новым, промежуточным между уже имеющимися. При этом найденную зависимость называют эмпирически найденным законом, или эмпирической формулой2. Однако эмпирическая формула нуждается в проверке: погрешность, получаемая при ее использовании, может оказаться довольно значительной (ясно, что надежность эмпирической формулы будет тем выше, чем чаще сетка наблюдаемых значений переменной, исходя из которых подбирали данную формулу). И совсем нежелательно использование эмпирической формулы3 за пределами исследованного интервала значений независимой переменной (такое продолжение формулы называется экстраполяцией (от лат. частицы ex, ~ вне): это может привести к большим ошибкам.