- •Операторный метод анализа линейных систем. Введение. Основные понятия теории управления.
- •Операторный метод анализа линейных систем.
- •Описание элементов системы.
- •Уравнения элементов.
- •Передаточная функция.
- •Весовые и переходные функции звена.
- •Характеристики типовых звеньев.
- •Описания систем.
- •Структура и структурная схема системы.
- •Соотношения «вход - выход».
- •2. Структурные представления.
- •Устойчивость.
- •Устойчивость звена по входу.
- •Алгебраические критерии устойчивости.
- •Устойчивость по начальным условиям.
- •4. Устойчивость системы.
- •Установившаяся реакция и частотная характеристика.
- •Определение реакции при гармоническом воздействии.
- •Анализ типовых структур.
- •Соединения с отрицательной обратной связью.
- •Обобщенный критерий Найквиста.
-
Обобщенный критерий Найквиста.
Сформулированный достаточные условия не дают ответа на вопрос: может ли система с обратной связью быть устойчивой, если характеристические многочлены звеньев имеют корни в правой полуплоскости (т.е. заведомо неустойчивые). Оказывается это возможно и существует необходимое и достаточное условие устойчивости такой системы.
Теорема 1.5.2.(Обобщенный критерий Найквиста).
Пусть выполнены условия:
-
- правильная дробно-рациональная функция;
-
Многочлены и не имеют совпадающих корней в правой полуплоскости (нули и полюса - не совпадают;
-
Известно число полюсов в правой полуплоскости равно q.
Тогда для устойчивости системы звеньев с отрицательной связью необходимо и достаточно чтобы при точка на комплексной плоскости совершала, ровно q полуоборотов вокруг критической точки (-1;0) или, что то же самое, годограф ровно q/2 раза охватывает критическую точку.
Вместо доказательства: геометрические примеры:
Следствие 1. Оба звена устойчивы, т.е. - устойчиво.
-
Пересекает правее (-1,0). (Может и вовсе не пересекать!).
I
-1 R
-
Столько раз пересекает ось по направлению вверх, сколько и по направлению вниз.
I
-1 R
В этих случаях годограф не должен охватывать (-1,0). Эта ситуация соответствует ранее разобранной теореме 1.5.1.
Следствие 2. не имеет полюсов на мнимой оси, но есть полюсов справа.
Пусть . Тогда если годограф такой же, как на 1) или 2), то теперь система неустойчива, а вот если, то соответственно неустойчивая система (один полуоборот).
I
-1 R
Следствие 3. имеет 1 нулевой корень, а остальные корни – слева.
В этом случае кривая строится без (т.к. тогда ).
-
I
-1 R
I
-1 R
Более сложные случаи, когда имеет кратные корни, рассматривать не будем, т.к. в этих случаях могут возникнуть разрывы графика годографа и требуется специальная процедура их дополнения (см. учебник).
Лабораторная работа:
-
Выбрать 2 случая :
-
С полюсами только слева;
-
С несколькими (1,2) полюсами справа.
-
Построить годограф и по графику, следуя теоремам 1.5.1 и 1.5.2 определить устойчивость системы с отрицательной обратной связью.