- •Операторный метод анализа линейных систем. Введение. Основные понятия теории управления.
- •Операторный метод анализа линейных систем.
- •Описание элементов системы.
- •Уравнения элементов.
- •Передаточная функция.
- •Весовые и переходные функции звена.
- •Характеристики типовых звеньев.
- •Описания систем.
- •Структура и структурная схема системы.
- •Соотношения «вход - выход».
- •2. Структурные представления.
- •Устойчивость.
- •Устойчивость звена по входу.
- •Алгебраические критерии устойчивости.
- •Устойчивость по начальным условиям.
- •4. Устойчивость системы.
- •Установившаяся реакция и частотная характеристика.
- •Определение реакции при гармоническом воздействии.
- •Анализ типовых структур.
- •Соединения с отрицательной обратной связью.
- •Обобщенный критерий Найквиста.
2. Структурные представления.
В первой части §1.2 рассматривалась задача сведения звеньевой системы к системе, состоящей из одного входа и нескольких выходов.
Рассмотрим обратную задачу. Пусть существует одно некое сложное звено:
Где и – произв. многочлены степени и соответственно;
и - степени многочленов.
Как эту систему из 1-го звена преобразовать к эквивалентной системе, состоящей только из простых типовых звеньев. Имеет мест следующая:
Теорема: Если выполнено условие , то звено (2.15) эквивалентно системе, состоящей только из звеньев типа идеальных усилителей и интеграторов и имеющей внешний вход и внешний выход .
Схема доказательства:
При , .
составим систему
Если - решения этой системы, то всегда можно подобрать такие , что y – решение исходного уравнения. Чтобы это показать, выражаем все через и и подставляем в последнее уравнение системы. Тогда перенося все члены с влево, а с -вправо, приходим к следующему выводу:
-
В левой части – такое же выражение, как и в части уравнения;
-
Приравнивая правые части, покажем, что однозначно определены такие , что при их выборе и правые части совпадают.
Но тогда, если ввести:
, то все 1-е ( уравнение системы записывается - это интеграторы, а последнее -ое уравнение записывается
Это стандартное представление уравнения связи, как и - что и доказывает теорему.
-
Устойчивость.
-
Устойчивость звена по входу.
Определение: звено называется устойчивым по входу если при любом входном воздействии и нулевых начальных условиях входная реакция является ограниченной при любых и при . В противном случае звено неустойчиво.
Теорема 1.3: (необходимое и достаточное условие устойчивости по входу).
Если звено описывается уравнением:
(3.1), то по его устойчивости по входу необходимо и достаточно (Н и Д) выполнение условия:
(Напоминаем, что , а интеграл от 0 до от модуля весовой функции звена ограничен.)
Доказательство (Д): По определению весовой функции:
Пусть - ограниченная функция, тогда:
Но тогда устойчивость следует из условия (3.2). (Мы доказали что из - ограничена и (3.2) следует – ограничен).
Доказательство (Н): для доказательства необходимости докажем, что существует такая ограниченная функция , что если (3.2) – нарушается, то может быть сколь угодно большим, т.е. - неограничен.
Пусть :
.
Тогда:
Следовательно, если (3.2) нарушается, может оказаться больше любого заданного числа. Значит (3.2) необходимо для устойчивости. Теорема доказана.
Применимость теоремы (3.1) связана с вычислением весовой функции звена.
Теорема 3.2 (2-ое Н и Д условие):
Для выполнения условия (3.2) Н и Д чтобы передаточная функция была ограничена по модулю при любых p, с .
Доказательство (Д): Пусть ограничена при и положим , корни многочлена - все различные (простые полюсы). Тогда, т.к. - дробно-рациональная функция, то:
;
- многочлен степени (m-n).
Из предположения ограниченности при следует:
-
, т.е.
-
(иначе при существуют корни в правой полуплоскости, а это приводит к тому, что ограничено при ).
Но тогда и можно найти весовую функцию для передаточной функции
и тогда
Но тогда
(используем тот факт, что
Доказательство (Н): необходимость вытекает из определения весовой функции
Тогда:
Необходимость доказана. (для ).
Теперь можно, как следствия доказанных теорем 3.1 и 3.2 сформулировать:
Критерий устойчивости по входу.
Устойчивость по входу имеет место, если выполняются 2 условия:
-
- что соответствует условию строгой реализации (называется условием строгой реализуемости) ;
-
имеет корни только с отрицательными вещественными частями ( называется условием устойчивости характеристического многочлена).