- •Операторный метод анализа линейных систем. Введение. Основные понятия теории управления.
- •Операторный метод анализа линейных систем.
- •Описание элементов системы.
- •Уравнения элементов.
- •Передаточная функция.
- •Весовые и переходные функции звена.
- •Характеристики типовых звеньев.
- •Описания систем.
- •Структура и структурная схема системы.
- •Соотношения «вход - выход».
- •2. Структурные представления.
- •Устойчивость.
- •Устойчивость звена по входу.
- •Алгебраические критерии устойчивости.
- •Устойчивость по начальным условиям.
- •4. Устойчивость системы.
- •Установившаяся реакция и частотная характеристика.
- •Определение реакции при гармоническом воздействии.
- •Анализ типовых структур.
- •Соединения с отрицательной обратной связью.
- •Обобщенный критерий Найквиста.
-
Алгебраические критерии устойчивости.
В математике известны эффективные методы проверки устойчивости многочленов. Начнем с необходимого условия.
Теорема 3.3 (критерий Стодолы).
Если многочлен с устойчив, то все его коэффициенты .
Доказательство:
Пусть у существуют вещественные корни и пары комплексно сопряженных корней . Тогда в разделении по корням будут присутствовать двучлены и трехчлены . . Т.к. – устойчивый многочлен, то . Но тогда все коэффициенты в - положительны, а следовательно, порождаемые ими ( по обобщенной теореме Виета) коэффициенты многочлена , являются суммой их произведений . Теорема доказана.
Критерий Стодолы - дост. Для n=1 и n=2. В остальных случаях его можно использовать как критерий неустойчивости: (Если А-> B, то ).
Если среди коэффициентов многочлена есть неположительные, то такой многочлен неустойчив.
Для определения устойчивости многочлена ( без вычисления его корней) лучше всего использовать алгоритм Рауса. Пусть заданы , , коэффициент многочлена
Тогда если k – номер шага алгоритма, то:
-
k =1: вычисляем . Если , то многочлен неустойчив.
-
Если , то k = k+1 и, начиная с вычисляем:
(Если ).
-
Если все , то многочлен устойчив.
Для и - этот алгоритм легко выполняется в общем виде и полученные в этих случаях условия называются условием Рауса.
Рассмотрим пример использования этого алгоритма:
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
6 |
6 |
6 |
6 |
|
|
10 |
7 |
7 |
7 |
|
|
9 |
9 |
5 |
5 |
|
|
5 |
14/3 |
14/3 |
49/15 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1/3 |
6/7 |
7/5 |
75/49 |
;
: вычисляем
;
:
;
:
;
Заполняем 1 столбец.
;
: вычисляем
;
:
;
;
: вычисляем
;
:
;
$
– многочлен устойчив.
Вывод: многочлен с = устойчив.
Существуют условия Рауса - Гурвица на коэффициенты многочлена в общем виде, но практически удобнее пользоваться данным критерием.
-
Устойчивость по начальным условиям.
Начиная с §1, было сделано предположение, что дифференциальные соотношения (1.1) будут рассматриваться при нулевых начальных условиях.
Если начальные условия – не нулевые, то решение можно записать как суммы двух решений:
-
- как решение однородного уравнения:
Где – константа, если - простой корень;
и многочлены, степени на 1 ниже, чем кратность корня .
-
- частное решение неоднородного уравнения
В качестве выберем решение с неявными начальными условиями:
Тогда:
Наличие ненулевых начальных условий приводит к появлению фактора, изменяющего характер связи между входом и выходом.
Определение: звено называется устойчивым по начальным условиям, если вызываемый ими эффект () исчезает при .
Тогда, из определения и (3.3) вытекает, что существует критерий устойчивости по начальным данным:
Система устойчива по начальным условиям, если все корни характеристического множества имеют .( т.е. является устойчивым многочленом).
Т.к. устойчивость по начальным данным совпадает с одним из условий устойчивости по входу, то при выполнении этих условий употребляется более краткий термин – устойчивое звено. А соответственно переходную называют устойчивой переходной функцией.