4. Характеристики типовых звеньев.

1. Идеальный усилитель (1.11);

2. Интегратор (1.15);

3. Апериодическое звено (1.16);

4. Колебательное звено при 0<k<1 (1.17)

1. Идеальный усилитель (1.11)

Рассмотрим - дельта функция Дирака.

Пусть δ*(t, a) = ; и тогда

– импульсная функция;

а

Найдем изображение по Лапласу от :

(при )

1 = ℒ(δ(t)) (1.12).

Определим теперь весовую функцию из равенства:

В изображениях: , значит

;

;

Получим, что весовая функция ; (1.13)

Найдем теперь:

;

Перейдем к изображениям:

,

Докажем, что:.

Следовательно:

Одновременно установлено соотношение между и.

и (1.14)

, a .

2. Интегратор (1.15);

Звено осуществляет интегрирование входного сигнала к (1.15’)

В изображениях по Лапласу: ;

, ,

Тогда определяет ,

Следовательно .

.

3. Апериодическое звено (1.16);

В изображениях по Лапласу:

=>

,

– передаточная функция.

; по теореме смещения:

; значит

-это весовая функция апериодического звена.

;

(1.16’)

4. Колебательное звено при 0<k<1 (1.17)

выбирается чтобы характеристическое уравнение имело только комплексные корни.

; 0<k<1;

;

Где , .

Найдем весовую функцию :

;

; ;

Тогда

;

.

Теперь положим , тогда

;

;

;

.

Воспользуемся теоремой о смещении:

;

(1.17)

Т.к. , то имеем:

h(t)

.

Найдем теперь

;

.

1. Описания систем.

1. Структура и структурная схема системы.

Перейдем к описанию систем, состоящих из взаимосвязанных звеньев. Для i-го звена:

вход , выход и тогда:

(2.1)

(2.2)

Взаимосвязь между звеньями:

или в более общем виде:

Где - внешнее воздействие не связанное с системой на i-ое звено, ,

0 – если к-ое звено не связано с i-ым;

1 – в зависимости от знака воздействия к-го звена на i-ое .

Определение: число не нулевых называется плотностью связи i-го звена.

Если плоскость невелика, то удобно использовать описание с помощью структурных схем, использующих язык теории графов. Каждое звено – прямоугольник, входное воздействие (->) в него, выходное (->) из него. Внутри прямоугольника или номер, или переходная функция. Операторы суммирования – изображены кругом, причем при отрицательной связи, около стрелки ставится (-).

Пример структурной схемы:

Запишем систему в виде уравнений:

.

2. Соотношения «вход - выход».

При изучении систем чаще всего интересует значение связи между внешними входами и выходами звеньев. Эти связи легче устанавливаются, если перейти к - образам.

Тогда, при нулевых начальных условиях, получаем:

Это С.Л.А.У. с помощью, которой можно неизвестные выразить через - образы внешних входов . Рассмотрим пример, как реальное физическое устройство может быть изучено по предложенной выше схеме.

Пример:

электромотор редуктор

ротор вал

Запишем все основные соотношения из электричества и динамики (ТМ) для объектов этой системы

1. - подается из преобразователя информации на усилитель и образуется

Напряжение, подаваемое на электродвигатель постоянного тока.

2. Известно, что если - индуктивность обмоток ротора, - сопротивление цепи ротора, то формируется сила тока связана с подаваемым напряжением следующим образом:

,

где - противоЭДС возникающее из-за индуктивности катушки;

D-дифференциальный оператор.

,

где -угловая скорость;

– коэффициент.

3. Известно также, что момент ротора пропорционален возникающей в его цепи силе тока

4. Теперь необходимо записать известные из ТМ уравнения движения (вращения) оси ротора и вала нагрузки. При этом надо учитывать передающееся через редуктор момент на вал нагрузки и обратно – момент противодействия нагрузки на ось ротора . Если r – коэффициент редуктора, то тогда и точно также связаны углы поворота и углы скорости оси ротора , и вала нагрузки и .

5. Записываем уравнение динамики вращательного движения:

- для ротора

- для вала

( - внешний момент, приложенный к валу)

Исключим из этих уравнений

= = .

Теперь все соотношения можно изобразить в виде структурной схемы:

(-)

ip

(-)

Самостоятельная работа. Как правило, не используется модель абсолютной жесткости редуктора, тогда вместо , вводим нагрузки – т.е. момент редуктора пропорционален разности углов поворота. При этом сохраняется

.

Задание: изменить соотношения и составить новую структурную схему.

Найдем теперь зависимость в виде формулы угла поворота от внешних входов и . Все ранее встречаемые уравнения запишем в образах по Лапласу (аргумент)

, ,

,

.

Осталось исключить .

Раскрываем скобки и находим .

Получить аналогичную зависимость от и для случая упругого редуктора.

Найдем теперь явную зависимость угла поворота вала от внешних входов и . Для этого все уравнения (П 1.) перепишем в - образах( аргумент р – опускается, переходим к большим буквам).

(П 1.2.3’)

(П 1.1)

(П 1.9)

(П 1.3) , но из (П 1.6)

, а из (П 1.8.8’)

; тогда:

(П 1.10)

(П 1.4) ,

(П 1.11)

Система ( П 1.9,10,11) – это система из которой исключением и можно найти выражение через и .

Сначала исключим

(П 1.9)

Теперь исключим из (П 1.11) и (П 1.12) и получим:

(П 1.13),

где и - дробно-рациональные функции. В знаменателях, которых – многочлен 4-ой степени, числитель , а числитель - многочлен 3-ей степени (получить самостоятельно).

Эти соотношения упрощаются, если , (абсолютно жесткий редуктор), тогда:

где ;

.

Если кроме того пренебречь самоиндукцией цепи ротора , то получим передаточную функцию совсем простого вида:

Запишем в общем виде правила решения С.Л.А.У в изображениях.

Пусть система состоит из N звеньев, тогда:

(2.6)

Применяя к (2.7) правило Крамера:

(2.9)

– определитель системы (2.7)

Т.к. (2.8) относительно обычное СЛАУ, тогда введем такие обозначения:

- алгебраическое дополнение к-го элемента i-го столбца той же матрицы.

Обозначим: (2.10)

; (2.11)

Определение: назовем переходной функцией от к-го внешнего вход к i-мн выходн. Используя теорему о ввертке:

– весовые функции, соотв. .

Все переходные функции – дробно-рациональные функции.

- характеристический многочлен системы .

Путь -внешний выход системы.

Тогда :

Где - переходные функции внешнего входа к внешнему выходу, тогда, запишем (2.12) в виде:

Приведем пример перехода от исходного описания к 1 дифференциальному уравнению.

Пример: рассмотрим систему, состоящую из 2-х звеньев.

Переходим к

Сокращаем на D-1.

Если сократить, то получим:

Если не сокращать, то получим:

Возникает проблема: когда модели А и В эквивалентны. Очевидно, условием эквивалентности является условие существования обратного оператора .

Условием существования обратного оператора является то, что оператор имеет нулевое ядро. Тогда это ядро f можно определить решив уравнение:

Тогда решением дифференциального уравнения будет:

Тогда f = 0, если c = 0 значит, ядро будет нулевым при начальных условиях f(0)=0.

Модели А и В эквивалентны только для нулевых начальных условий. Тогда решения А и В будут одинаковыми.

Вывод: работая с аналогом дифференциальных операторов: степенями p ненужно забывать о необходимости при сокращении обратных операторов сокращенных выражений.