Лабораторная работа №8 (литература: [1])

Тема: Прогнозирование функции отклика объекта на изменение его геометрических свойств.

Одним из признаков адекватности модели является возможность с необходимой точностью прогнозировать будущее состояние объекта. Поэтому выбор методов прогнозирования является очень важной задачей, и ее решение требует индивидуального подхода к выбору используемой модели.

Модели можно классифицировать по различным признакам. В зависимости от вида объекта, могут быть модели физических процессов, модели развития производства, модели развития науки и техники, экономические модели, демографические модели, социальные модели, модели политических ситуаций и т. д.

В зависимости от характера протекания прогнозируемого процесса, существуют следующие группы моделей: эволюционного развития; революционного развития; включающие элементы и эволюционного, и революционного развития.

В настоящее время существует большое количество способов и методов прогнозирования, однако все они основаны на двух подходах: эвристическом и математическом.

Эвристический метод основан на мнении высококвалифицированных специалистов в данной области знания, что дает возможность избежать грубых ошибок, особенно в области скачкообразных изменений прогнозируемой величины. Метод эвристического прогнозирования в основном используется для прогнозирования процессов, формализацию которых нельзя привести к моменту прогнозирования.

Математическое прогнозирование заключается в использовании имеющихся (до определенного времени) данных о некоторых характеристиках прогнозируемого объекта, обработке этих данных математическими методами и определении функций зависимости этих характеристик от времени (или от других независимых переменных) для получения необходимых свойств объекта в заданный момент времени.

Процесс математического прогнозирования условно подразделяется на следующие этапы:

- сбор и подготовку исходных данных;

- выбор и прогнозирование математической модели исследуемого объекта;

- обработку статистических данных для определения неизвестных параметров модели и получения зависимости, связывающей прогнозируемые характеристики объекта от времени или других величин;

- прогнозирование, т. е. вычисления значения интересующих характеристик или свойств объекта в заданный момент времени и при заданных значениях других известных переменных.

Методы математического прогнозирования условно подразделяются на методы прогнозирования движения (развития) и экстраполяции (статистические методы). Процессы прогнозирования могут быть как непрерывными во времени, так и дискретными.

Качество прогноза определяет степень соответствия модели реальному процессу. В ряде случаев функциями, моделирующими процесс, являются экспонента, полином (парабола, прямая), тригонометрические ряды и т. д. Используя достаточно большое количество параметров, можно провести кривую через все точки. Однако такой подход к прогнозированию содержит методический недостаток, так как при постоянных параметрах, полученных по предыстории, нельзя предсказать возможные изменения характера процесса.

Комбинированное прогнозирование. Эвристическим и математическим методам прогнозирования присущи и преимущества, и недостатки. Комбинированный метод объединяет достоинства этих методов и сглаживает недостатки. Комбинированное прогнозирование имеет следующую последовательность действий. Из исследования модели процесса развития явления выявляются общие закономерности, при этом в них могут быть коэффициенты или функции, которые не удается определить на основании анализа моделей процесса. Эти коэффициенты (или функции) определяют статистическими методами. Полученные данные позволяют выполнить математический прогноз. Независимо от него осуществляется эвристический прогноз, и затем результаты эвристического и математического прогнозирования сравниваются. В случае их непротиворечивости, задачу прогнозирования можно считать решенной. В случае противоречивости прибегают к методу логического анализа, с помощью которого и принимают окончательное решение.

Укажем на достоинства и недостатки методов математического и эвристического прогнозирования.

Эвристический метод принципиально применим для прогнозирования любых процессов: непрерывных или дискретных, стационарных или нестационарных, имеется ли «скачок» или нет, имеются ли статистики или нет. Однако этот метод является субъективным.

Метод наименьших квадратов (МНК) объективен. По своей сути он предназначен для обработки статистических данных, дискретных процессов. Однако, для него необходим достаточно большой статистический материал, необходимо знать вид функции, описывающий процесс, а также он не дает возможности предсказать «скачок» ни на участке упреждения, ни на участке наблюдения. МНК предполагает неизменность модели в области наблюдений и в области прогноза, «скачок» же – это изменение модели.

Существуют методы оптимальной фильтрации (Винера – Хопфа, фильтр Калмана), предназначенные для обработки непрерывных статистических данных и рассчитанные, прежде всего, на применение в автоматических системах управления. Эти фильтры быстро и просто реализуются на ЭВМ, очень удобны для получения непрерывного прогноза, однако для них характерны: необходимость значительного статистического материала, знания корреляционной функции процесса и невозможность предсказания скачков на участке упреждения.

Кроме перечисленных методов, для прогнозирования применяют метод канонических разложений и метод прогнозирования с помощью моделирования процессов развития, который идеален в том случае, если процесс детально изучен. Для сложных процессов построить корректную модель часто не удается.

Рассмотренные способы прогнозирования характеристик процессов являются актуальными при допущении неизменности их моделей как на участке наблюдения за этими процессами, так и на участке прогнозирования. Однако не всегда параметры принятой модели не меняются. В большинстве случаев входные данные искажены помехой. Поэтому иногда трудно распознать, является ли отклонение нового наблюдения следствием внешнего воздействия, помехи или внутреннего воздействия. В последнем случае необходимо, чтобы модель позволяла как можно точнее описывать текущие данные о процессе, и совсем не обязательно, чтобы она также хорошо описывала данные, полученные в прошлом. Очень важно, чтобы прогнозирующая система могла автоматически распознавать изменения в модели. Одним из путей решения этой задачи является применение прогнозирования методом экспоненциального сглаживания. Математическая модель экспоненциального сглаживания имеет вид

. (1)

В выражении (1) – постоянная сглаживания. Текущее значение сглаженной величины равно сумме предыдущего ее значения и некоторой доли разности между текущим наблюдением и предыдущим значением сглаженной величины. Величина является линейной комбинацией всех наблюдений, вес которых убывает по геометрической прогрессии со временем. Текущее наблюдение имеет вес AЗначение лежит в интервале (0, 1). Предельное значение . При этом , т. е. значение S настолько стабильное, что можно не использовать новую информацию о процессе. Напротив, означает, что предшествующей информации о процессе доверять нельзя. При применении экспоненциального сглаживания для определения коэффициента постоянной модели A необходимо знать предшествующее значение оценки и текущего наблюдения . Точность и скорость реакции системы на изменение в модели зависят от величины постоянной сглаживания A. Малая величина A обеспечивает большую точность оценки A при неизменной модели, но медленную реакцию на изменение в модели, а увеличение A будет способствовать увеличению скорости этой реакции.

Рассмотрим пример влияния начального значения и постоянной сглаживания A на результат расчета.

Примем за начальную величину которой мы достаточно доверяем, поэтому выберем . Тогда по мере поступления новой информации получим следующие значения сглаживающей функции (таблица 1).

Таблица 1 – Значения сглаживающей функции при

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	3,46	3,14	5,45	2,68	2,93	3,30	2,71	4,30	3,24	2,04
St	3,34	3,65	3,83	3,81	3,72	3,67	3,57	3,64	3,59	3,42

Теперь выберем и . Значения функции представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Значения сглаживающей функции при

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	3,46	3,14	5,45	2,68	2,93	3,3	2,71	4,3	3,24	2,04
St	4,74	3,78	4,79	3,53	3,17	3,25	2,93	3,75	3,45	2,6

Рисунок 1 – Прогнозирование экспоненциальным сглаживанием

Как видно из графика, начальное значение «быстро забывается», однако во втором случае результаты расчета более подвержены влиянию изменения (влиянию помех), чем в первом.

Метод экспоненциального сглаживания дает хорошие результаты при краткосрочном прогнозе, при линейно-независимых величинах предыстории.

Задание.

Для функций

,

полученных в лабораторной работе №3, вычислить прогнозные значения при А=0.1, А=0.4, А=0.7 и А=0.9.

Пример решения в Excel