Оценка погрешности.

Итак, оценим погрешность формулы (2.1) в какой-нибудь точке Х[a,b], т.е. будем оценивать R(X),где R(x)=f(x)-Pn(x)

Обозначим многочлен степени (n+1) с корнями в узлах интерполирования через w(x):

и введем вспомогательную функцию: F(x)=f(x)-P_n(x)-b w(x) (2.2)

При этом коэффициент b в формуле (2.2) мы выберем так, чтобы выполнялось условие

F(X)=0, т.е. f(X)-P_n(X)=b w(X) или R(X)=b w(X) (2.3).

Мы можем без ограничений общности считать, что точка Х не совпадает ни с одним из узлов Хi, поскольку в них погрешность равна 0. В этом случае вспомогательная функция обращается в нуль не менее (n+2) раз на отрезке [a,b]: в точке X и в узлах интерполяции, т.к. w(Xi)=0 и f(Xi)= Pn(Xi).

Используем теорему Ролля, которая утверждает, что между любыми двумя нулями дифференцируемой функции найдется нуль производной, видим, что первая производная F'(x) должна обращаться в нуль на отрезке [a,b] не менее (n+1) раз.

Аналогично, вторая производная F''(x) обращается в нуль не менее n-раз на отрезке [a,b] и т.д.

Рассуждая подобным образом, мы установим, что функция F⁽ⁿ⁺¹⁾(x) обязательно обращается в нуль хотя бы один раз на отрезке [a, b].

Пусть F⁽ⁿ⁺¹⁾(d)=0. Дифференцируя формулу (2.2) (n+1) раз, получаем:

F⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)-0-b(n+1)!

откуда легко видеть, что:

f⁽ⁿ⁺¹⁾(d)=b(n+1)!, или b=f⁽ⁿ⁺¹⁾ (d)/(n+1)!

Подставляя полученное выражение в (2.3), видим:

R(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(d)w(x)/(n+1)!,

откуда уже легко произвести нужную оценку

(2.4)

справедливую для всех точек отрезка [a,b].

Упражнения: Пользуясь формулой (2.4) произвести оценку точности интерполяции при Х=1.5 в условиях:

2.4. Упражнения (2.2) и предположения M₃ < 10 на [1,3]

2.5. Упражнения (2.3) и предположения M₄ < 16 на [-1,2]

Преимущество данного метода наглядно проявляется при малом количестве узлов и достаточно гладкой функции. Вычисления на ЭВМ здесь организуются сравнительно просто.

Упражнение 2.6. Составить программу на одном из языков для вычисления значения интерполяционного многочлена в форме Лагранжа (формула(2.1)).

Упражнение 2.7. Дополнить предыдущую программу таким образом, чтобы в случае, когда известен максимум (n+1)-ой производной исходной функции, вычислялась оценка погрешности.

Сплайн-интерполяции.

Помимо описанных методов, существуют и широко распространены на практике приближения функций с помощью СПЛАЙНОВ.

Обычно они применяются когда количество узлов n велико и применять формулу (2.1) невыгодно, а линейная интерполяция не дает желаемых результатов (например при решении задачи численного дифференцирования в узлах). В этом случае выбирают небольшое число К и на каждом отрезке [ X_i,X_i+1] строят свой многочлен степени К, следя за тем, чтобы в узлах Хi разные многочлены "сшивались" гладким образом, например так, чтобы совпадали не только их значения, но и значения их первой, второй, (к-1)-ой производной. Получившаяся при этом функция является, как говорят, кусочно-полиномиальной и называется сплайном.

Контрольные вопросы:

1. Как ставится задача интерполяции?

2. Какие виды интерполяции вы знаете?

3. В чем суть и геометрический смысл линейной интерполяции?

4. Какова схема построения интерполяционного многочлена в форме Лагранжа?

5. Чему равна сумма вспомогательных многочленов Лагранжа?

6. Как выглядит оценка точности при интерполировании многочленом?

7. Что можно сказать об оценке погрешности при решении задачи интерполирования непрерывной функции, если не накладывать на нее никаких дополнительных ограничений?

8. Что такое сплайн-интерполяция и в чем ее суть?