Контрольные вопросы.

1. Что такое транспонированная матрица, симметрическая матрица?

2. Что такое главные миноры? Бывают ли главные миноры у неквадратной матрицы?

3. Какая матрица называется положительно определенной?

4. Каковы условия применимости метода квадратного корня?

5. Что может получиться, если применять метод к симметрическим, невырожденным, но не положительно определенным матрицам?

6. Что может получиться, если применять метод к несимметрическим матрицам?

7. Опишите в матричном виде процесс решения системы данным методом.

8. Почему при поиске элементов матрицы S мы выписываем 10, а не все 16 уравнений?

Содержание лабораторной работы.

1. Ответить на вопросы контролирующей программы.

2. Составить, отладить и протестировать на контрольных примерах программу решения систем линейных уравнений методом квадратного корня.

3. Попробовать применить программу к системам, где метод квадратного корня не применим. Дополнить программу проверкой применимости метода.

4. (дополнительно). Составить программу для решения систем компакт-методом.

5. Составить отчет, содержащий цель и назначение работы, постановку задачи, текст программ и варианты исполнения для своих данных.

Метод простых итераций

Данный метод относится к приближенным методам решения систем линейных уравнений. Для его применения необходимо преобразовать исходное уравнение АХ=В к эквивалентному виду Х=АХ+В, (9.1)

где матрица А и вектор В не те, что были в исходной задаче, и должны удовлетворять некоторым условиям, чтобы метод итераций давал последовательность векторов, сходящуюся к решению. Ясно, что для такого преобразования матрица А должна быть квадратной.

Упражнение 9.1. Обоснуйте.

Мы будем рассматривать уравнение (9.1) при условии, что его решение существует и единственно, т.е. будем рассматривать только корректную задачу.

Упражнение 9.2. Сформулируйте краткое математическое условие на матрицу А, при котором уравнение (9.1) имеет единственное решение для любого вектора В.

Так же, как метод итераций для обычных уравнений и метод Пикара для дифференциальных уравнений, метод простых итераций для систем линейных уравнений является следствием из общего принципа сжимающих отображений.

Условия применимости метода простых итераций.

Рассмотрим отображение n-мерного евклидова пространства в себя, заданное формулой: Y=AX+B, где А- матрица размерности nхn, X,B,Y Rⁿ. Главный вопрос применимости метода заключается в следующем: в каком случае это отображение будет сжимающим, т.е. существует некоторое число q, 0<q<1, такое что при всех х₁ и х₂ справедливо:

Что надо потребовать от матрицы А, чтобы выполнялось это условие?

Приведем несколько достаточных условий. Для этого вспомним, что основными нормами в пространстве Rⁿ являются

1. , где x=(x₁,x₂,...,x_n)

2.

3. , где i=1,2,...n

Рассмотрим в исходном пространстве векторов норму и оценим норму оператора преобразования Y=AX+B через элементы матрицы А.

Оценивать норму мы будем в два этапа: 1. Сначала оценим i-ую компоненту вектора y₁-y₂.

2. Затем оценим норму всего вектора y₁-y₂.

Возьмем i-ую компоненту вектора y₁-y₂ и оценим сверху эту разность по модулю.

Далее уже легко оценить и норму разности векторов y₁-y₂:

, где максимум берется при всех i=1,2,…,n

Следствие. Если =мах <1, (i=1,2,…,n), то отображение Y=AX+B сжимающее.

Задача. Доказать, что для двух других норм в исходном пространстве получим:

, и , где максимум берется при всех j=1,2,…,n.

Если при этом хотя бы одно из этих чисел меньше 1, то отображение сжимающее.