- •Решение алгебраических и трансцендентных уравнений Постановка задачи и этапы решения.
- •Пример локализации корней.
- •Метод половинного деления
- •Метод хорд и касательных
- •Вопрос 1. Почему при описанном выше построении очередной полученный отрезок также содержит корень исходного уравнения? Обоснуйте этот факт геометрически, а если сможете, то докажите его строго.
- •Вопрос 2:в каком порядке следует писать формулы (1) и (2) при составлении алгоритма метода Ньютона и почему ?
- •Метод итераций
- •Сведение исходного уравнения к виду, пригодному для применения метода итераций.
- •Суть и обоснование метода итераций.
- •Условие окончания вычислений в методе итераций.
- •Сравнение различных методов.
- •Контрольные вопросы
- •Содержание лабораторной работы
- •Интерполирование функций
- •Постановка задачи интерполирования.
- •Линейная интерполяция.
- •Интерполяция многочленом. Единственность интерполяционного многочлена n-й степени.
- •Построение вспомогательных многочленов Лагранжа.
- •Построение многочлена Лагранжа.
- •Оценка погрешности.
- •Сплайн-интерполяции.
- •Контрольные вопросы:
- •Содержание лабораторной работы:
- •Численное интегрирование функций
- •Общая схема
- •Метод прямоугольников.
- •Метод трапеций.
- •Метод симпсона.
- •Метод двойного счета.
- •Контрольные вопросы:
- •Содержание лабораторной работы
- •Приближенные решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Постановка задачи
- •Метод Пикара.
- •Метод разложения неизвестной функции y(х) в ряд,
- •Метод Эйлера.
- •Общая схема численных методов.
- •Методы Рунге-Кутта
- •Контрольные вопросы.
- •Содержание лабораторной работы.
- •Метод наименьших квадратов Постановка задачи и ее качественный анализ.
- •Постановка задачи.
- •Нахождение наилучшей линейной приближающей функции.
- •Сведение поиска функций другого вида к поиску линейной функции.
- •Контрольные вопросы.
- •Содержание лабораторной работы.
- •Решение систем линейных уравнений
- •Постановка задачи и ее качественное исследование.
- •Метод Гаусса
- •Прямой ход.
- •Регуляризация решения
- •Описание метода Гаусса для вырожденных систем.
- •Применения метода Гаусса.
- •Нахождение определителя матрицы.
- •Нахождение обратной матрицы
- •Нахождение ранга матрицы.
- •Определение совместности системы.
- •Контрольные вопросы
- •Матричное описание метода квадратного корня.
- •Нахождение матрицы s («квадратного корня» из а)
- •Нахождение вспомогательного вектора y.
- •Нахождение вектора решения х.
- •Пример.
- •Компакт-метод.
- •Контрольные вопросы.
- •Содержание лабораторной работы.
- •Метод простых итераций
- •Условия применимости метода простых итераций.
- •Описание метода простых итераций.
- •Условие окончания вычислений.
- •Приведение исходной системы к нужному виду.
- •Случай диагонального преобладания.
- •Случай, когда матрица а близка к единичной.
- •Контрольные вопросы.
- •Содержание лабораторной работы.
- •Численные методы решения экстремальных задач
- •Численные методы поиска экстремумов функций одной переменной
- •Метод равномерного поиска.
- •Метод поразрядного приближения
- •Метод деления отрезка пополам (или метод дихотомии).
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод золотого сечения
- •Численные методы поиска экстремумов функций многих переменных
- •Метод координатного спуска
- •Градиентный метод
- •Контрольные вопросы
- •Содержание лабораторной работы «Численные методы решения экстремальных задач
- •Линейное программирование Постановка задачи. Графический метод
- •Пример 1 (транспортная задача)
- •Пример 2 (расчет рациона)
- •Пример 3 (распределение ресурсов)
- •Задача линейного программирования в общем виде:
- •Графический метод решения задачи линейного программирования.
- •Двойственная задача
- •Симплекс - метод
- •Описание симплекс-метода.
- •Алгоритм симплекс-метода:
- •Пример.
- •Содержание лабораторной работы.
- •Элементы математической статистики
- •Генеральная совокупность. Выборка. Статистические ряды
- •Графическое изображение вариационных рядов. Эмпирическое распределение
- •Средние величины и показатели вариации
- •Средняя арифметическая и ее свойства
- •Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- •Коэффициент вариации
- •Структурные средние
- •Законы распределения случайных величин
- •Статистические гипотезы
- •Контрольные вопросы
- •Содержание лабораторной работы «Элементы математической статистики»
- •Литература
Статистические гипотезы
Величина отклонения выборочного показателя от его генерального параметра называется статистической ошибкой этого показателя или ошибкой репрезентативности. Статистические ошибки - это не ошибки возникающие в результате измерений. Их пояление обусловлено процессом отбора вариант из генеральной совокупности и к ошибкам измерений отношения не имеют. Чем сильнее варьирует признак, тем больше при прочих равных условиях будет ошибка выборочных показателей и наоборот.
По известным значениям выборочных характеристик можно установить интервал, в котором с той или иной вероятностью находится величина генерального параметра. Вероятности, признанные достаточными для уверенных суждений о генеральных параметрах на основании выборочных показателей, называются доверительными.
Решение той или иной задачи, как правило не обходится без сравнений. О преимуществе одной из сравниваемых групп судят обычно по разности между выборочными средними. Но эта оценка тоже может носить случайный характер. Чтобы решить вопрос об истинной значимости различий,наблюдаемых между выборочными средними исходят из статистических гипотез - предположений или допущений о неизвестных генеральных параметрах, выражаемых в терминах вероятности, которые могут быть проверены на основании выборочных показателей.
Применяется так называемая нулевая гипотеза (), то есть, предположение о том, что между генеральными параметрами сравниваемых групп разница равна нулю и различия, наблюдаемые между выборочными показателями, носят исключительно случайный характер.
Противоположная или альтернативная гипотеза, наоборот, исходит из предположения, что между генеральными параметрами сравниваемых групп разница не равна нулю.Статистические гипотезы могут исходить и из других предположений.
Истинность принятой гипотезы проверяется с помощью критериев значимости, или достоверности, то есть, специально выработанных случайных величин, функции распределения которых известны. Обычно для каждого критерия составляется таблица, в которой содержатся критические точки, отвечающие определенным числам степеней свободы () и принятым уровням значимости .
Уровни значимости - значение вероятности, при котором различия, наблюдаемые между выборочными показателями, можно считать несущественными, случайными. В исследовательской работе обычно принимается 5% уровень значимости, который соответствует вероятности =0,05 и нормированное отклонение , если распределение критерия нормально. Если окажется, что , то нулевая гипотеза сохраняется, иначе отвергается.
Рассмотрим гипотезу о равенстве средних арифметических исходных генеральных совокупностей. В рассмотрении участвуют две выборки и их параметры: объем выборки и средняя арифметическая (и для первой выборки и и для второй). Нулевая гипотеза предполагает, что .
Имеется ли различие между этими средними значениями? Чтобы определить какой характер носит это различие используют критерий Стьюдента. Вычисленное значение критерия будет определено по формуле: , а .
Вычисленное значение критерия сравниваем с критической точкой, взятой из таблицы распределения Стьюдента в соответствии с выбранным уровнем значимости и числом степеней свободы . Если больше табличного значения, то гипотезу о равенстве средних следует отвергнуть. Это будет означать, что различие средних нельзя считать случайным.
Теперь рассмотрим гипотезу о равенстве дисперсий исходных генеральных совокупностей. В рассмотрении участвуют две выборки и их параметры: объем выборки и дисперсия (и для первой выборки и и для второй). Нулевая гипотеза предполагает, что . Воспользуемся критерием Фишера (отношение большей из дисперсий к меньшей). Вычисленное значение критерия Фишера сравниваем с критическим значением, взятым из таблицы распределения Фишера в соответствии с уровнем значимости и степенями свободы и. Если вычисленное значение критерия больше табличного, то различие выборочных дисперсий следует признать значимым.
Чтобы проверить, распределен ли варьирующий признак по нормальному закону, поступают следующим образом. Пусть элементы выборки распределены по - интервалам, причем - тому интервалу () соответствуе частота . Для проверки гипотезы о каком - либо распределении случайной величины используют критерий (критерий Пирсона).
Вычисленное значение критерия определяется по формуле: , где - относительная частота соответствующая - ому интервалу, - теоретическая частота, соответствующая - ому интервалу. Правило вычисления и определение числа степеней свободы зависит от вида теоретического распределния и способа оценки его параметров.
Сравним эмпирическое распределение с нормальным.
, где и - левая и правая границы - ого интервала, - плотность нормального распределения. Для упрощения вычислений можно заменить интеграл в правой части этого равенства произведением длины промежутка интегрирования и значения функции в средней точке интервала, то есть, .
В таблице распределения находим критическую точку, соответствующую выбранному уровню значимости и числу степеней свободы (если и не определяются по имеющимся данным, а известны заранее, то число степеней свободы ). Если вычисленное по формуле значение критерия больше табличного, то на уровне значимости прверяемая гипотеза должна быть отвергнута.
Можно поступить еще и так. Пусть - абсолюное значение частоты - ого интервала. Можно сравнить частоты теоретические и эмпирические. В этом случае , где - объем выборки.
Для нормального распределения характерно совпадение по абсолютной величине средней арифметической, медианы и моды. Для этого вида распределения характерно то, что на равные интервалы, измеряемые нормированным отклонением от центра распределения, приходится равное число вариант.
Кривую нормального распределения характеризуют величины асимметрия () и эксцесс.(). Эти величины для рассматриваемой выборки можно определить, зная выборочные характеристики: среднюю арифметическую и дисперсию.
, .
Можно оценить статистические ошибки выборочных характеристик. Для выборочной средней , для асимметрии , для эксцесса . И нулевая гипотеза о том, что эмпирическое распределение нормально будет отвергаться, если и .