Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия (или варианса) - это средний квадрат отклонений вариант данной совокупности от их средней величины.

Дисперсия или, если используется интервальный вариационный ряд

.

Свойства дисперсии

Свойство 1. Если каждую варианту совокупности уменьшить или увеличить на одно и тоже постоянное число А, то дисперсия не изменится.

Упражнение 4. Доказать свойство 1.

Свойство 2. Если каждую варианту разделить (или умножить) на одно и тоже постоянное число А, то дисперсия уменьшится (или увеличится в А² раз.

Упражнение 2. Доказать свойство 2.

Среднее квадратическое отклонение определяется по следующей формуле:

. Чем сильнее варьирует признак, тем больше величина этого показателя и наоборот.

Коэффициент вариации

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - величины абсолютные и имеют размерность вариант совокупности. Если же хотим сравнивать изменчивость признаков, выраженных разными единицами, следует перейти к относительным показателям.

Один из этих показателей - показатель Пирсона (коэффициент вариации)

.

Чем выше %, тем более изменчив признак.

Структурные средние

Медиана () эмпирического распределения - средняя, относительно которой ряд распределения делится на две половины: в обе стороны от медианы располагается определенное число вариант. Если число вариант нечетно - центральная варианта его медиана. При четном - определяется по полусумме соседних вариант, расположенных в центре ряда.

Мода () - величина, которая встречается в данной совокупности наиболее часто. Класс с наибольшей частотой называется модальным.

О чем можно судить по медиане выборки? Важна эта характеристика особенно в тех случаях, когда обнаруживается значительная или резкая асимметрия в распределении частот по классам вариационного ряда. Часто используется для установления границ тех или иных нормативов.

Законы распределения случайных величин

Между отдельными значениями варьирующих признаков и частотой их встречаемости в генеральной совокупности существует определенная связь (это наглядно можно увидеть на графике зависимости частот от значения вариат).

Реализация того или иного эначения варьирующего признака представляет собой случайное событие. Предсказать появление случайного события в отдельных испытаниях (наблюдениях) можно лишь с некоторой уверенностью, или вероятностью, которое имеет данное событие. Случайной называется переменная величина, способная в одних и тех же условиях испытания принимать различные числовые значения. Функция , связывающая значения вариант с вероятностями называется законом распределения случайной величины.

В природе широко распространена закономерность: в массе относительно однородных членов, составляющих статистическую совокупность, большинство их оказывается среднего или близкого к нему размера, и чем дальше они отстоят от среднего уровня варьирующего признака , тем реже встречаются в данной совокупности. Такое поведение может описано законом нормального распределения (формула Гаусса-Лапласа)

, где - дисперсия генеральной совокупности, - генеральная средняя арифметическая или математическое ожидание.

Величина получила название нормированного отклонения.

Выборочные характеристики рассматриваются как приближенные значения или точечные оценки соответствующих генеральных параметров, которые, как правило, остаются неизвестными. Средняя арифметическая выборки служит оценкой средней арифметической генеральной совокупности , выборочная дисперсия является оценкой генеральной дисперсии , - в качестве точечной оценки стандартного отклонения генеральной совокупности.

Формально математическое ожидание соответствует средней арифметической эмпирических распределений. Однако отождествлять эти величины нельзя. Средняя арифметическая выражается отношением суммы всех членов ряда к их общему числу, а математическое ожидание представляет сумму произведений членов ряда на их вероятности. Эмпирическая средняя стремится к своей вероятной величине, то есть, к математическому ожиданию по мере увеличения числа испытаний: чем больше число испытаний, тем ближе эмпирическая средняя к математическому ожиданию.