Контрольные карты для количественных и альтернативных признаков

Контрольные карты для количественного признака; карты для средних и размахов () и др.

Контрольные карты для количественных данных — это классические контрольные карты, применяемые для управления процессами в тех случаях, когда характеристики или результаты процесса измеряемы, и измеренные с требуемой точностью фактические значения контролируемого параметра регистрируются.

Известно, что получение количественных значений контролируемого параметра процесса требует наличия необходимого контрольно-измерительного оборудования и персонала соответствующей квалификации и поэтому существенно сложнее и дороже, чем регистрация альтернативных данных о контролируемом параметре. Вместе с тем количественные данные гораздо более информативны, чем альтернативные, и следовательно, для получения достаточной информации о процессе требуются выборки существенно меньшего объема. Благодаря этому в ряде случаев не только сни­жаются общие затраты на проведение контроля, но и, что не менее важно, сокращается временной интервал между моментом разладки процесса и осуществлением корректирующих воздействий. Это позволяет избежать производства большого количества непригод­ной продукции и связанных с этим необоснованных затрат раз­личных ресурсов.

Контрольные карты для количественных данных позволяют контролировать как расположение центра (уровень, среднее, центр настройки) процесса, так и его разброс (размах, стандартное отклонение). Поэтому контрольные карты для количественных данных почти всегда применяют и анализируют парами — одна карта для расположения, а другая для разброса. Наиболее часто приме­няют пары - и R-карты, а также - и S-карты. Формулы для расчета положения контрольных границ этих карт приведены в таблице 1. Значения входящих в эти формулы и зависящих от объема выборки коэффициентов приведены в таблице 4.3. Следует подчеркнуть, что приведенные в этой таблице коэффициенты получены в предположении, что количественные значения контролируемого параметра имеют нормальное или близкое к нормальному распределение.

Таблица 1

Формулы контрольных границ для карт Шухарта с использованием количественных данных

Статистика	Стандартные значения не заданы		Стандартные значения заданы
	Центральная линия	Контрольные границы	Центральная линия	Контрольные границы
		или	или
R			или
S			или

Значения , R и S для каждой выборки рассчитываются по формулам (1), (2) и (3) соответственно. Средние значения этих параметров для всех выборок определяются следующими со­отношениями:

, (1)

, (2)

, (3)

где т - количество проконтролированных выборок.

Коэффициенты для вычисления линий контрольных карт приведены в таблице А.1 приложения А.

Альтернативой -картам являются контрольные карты ме­диан (М_е-карты), построение которых сопряжено с меньшим объе­мом вычислений по сравнению с -картами. Это может облегчить их внедрение в производство. Положение центральной линии на M_е-карте определяется средним значением медиан (М_е) для всех проконтролированных выборок. Положения верхней и нижней контрольных границ определяются соотношениями

- для ВКГ,

- для НКГ

Значения коэффициента А₄, зависящие от объема выборки, приведены в таблице А.2 приложения А.

Обычно М_е-карта применяется вместе с -картой, объем выбо­рок п≤10.

В ряде случаев стоимость или продолжительность измерения контролируемого параметра столь велики, что приходится управ­лять процессом на основе измерения индивидуальных значений контролируемого параметра. При этом мерой вариации процесса служит скользящий размах, т.е. абсолютное значение разности измерений контролируемого параметра в последовательных парах: разность первого и второго измерений, затем второго и тре­тьего и т.д. На основе скользящих размахов вычисляют средний скользящий размах , который используют для построения кон­трольных карт индивидуальных значений и скользящих разма­хов (Х- и MR-карты). Формулы для расчета положения конт­рольных границ этих карт приведены в таблице 2.

Таблица 2 – Формулы контрольных границ для карт индивидуальных значений

Статистика	Стандартные значения не заданы		Стандартные значения заданы
	Центральная линия	Контрольные границы	Центральная линия	Контрольные границы
Индивидуальное значение			или
Скользящий размах МR			или

Примечание: заданы стандартные значения

Значение коэффициентов d₂, D₁, D₂, D₃, D₄ можно получить из таблицы 4.3 при n=2.

Контрольные карты для альтернативного признака; p-карты для доли несоответствующих единиц и др.

Альтернативные данные имеют только два значения типа "да — нет" (годен — не годен, соответствует — не соответствует, проходит - не проходит и т.д.). На основе этих данных определяют число несоответствующих еди­ниц (пр) или число несоответствий (с) в выборке.

Число несоответствующих изделий в выборке можно применять непосредственно в качестве контролируемой величины при постро­ении n-р - карты или разделить его на объем выборки п и получить долю несоответствующих изделий в выборке р, используемую в качестве контролируемой величины при построении р - карты.

Число и доля несоответствующих изделий в выборке подчиняется биномиальному закону распределения. Это объясняется тем, что бесповторные выборки берутся из текущего процесса производства, т.е. из совокупности с потенциально бесконечным чис­лом изделий, и в этом случае бесповторная выборка мало отличается от повторной выборки.

Число несоответствий в выборке применяется в качестве контролируемой величины при построении с - карты, а число несоответствий, приходящихся на одно изделие в выборке, применяется при построении u-карты. Как число несоответствий в выборке, так и число несоответствий, приходящихся на одно изделие, подчиняются распределению Пуассона.

Формулы для расчета положения контрольных границ карт Шухарта, использующих альтернативные данные, приведены в таблице.

Следует отметить, что вычисление положения контрольных границ по формулам таблицы осуществляется приближенными методами, поэтому возможны случаи, когда для НКГ получается отрицательное значение. Поскольку число несоответствий и несоответствующих изделий - не отрицательная величина, то в этом случае НКГ совмещают с осью абсцисс. Кроме того, поскольку число несоответствующих изделий и число несоответствий в выборке могут быть только целыми числами, то полученные значения для ВКГ рекомендуется округлять до ближайшего большего целого числа, а для НКГ - до ближайшего меньшего целого числа.

Таблица 3 - Формулы контрольных границ карт Шухарта для альтернативных данных

Статистика	Стандартные значения не заданы		Стандартные значения заданы
	Центральная линия	Контрольные границы	Центральная линия	Контрольные границы
пр
с
и
Примечание: , , , - заданные стандартные значения

Если необходимые для построения контрольных карт значе­ния доли несоответствующих изделий (р) и числа несоответствий (с) в выборке не заданы в технической документации и не представляется возможным их определение из имеющегося опыта управления данным процессом, то значения р и с определяют экспериментально на этапе предварительного исследования процесса. Такое исследование проводится в естественных производственных условиях при нормальном ходе технологического процесса с применением сплошного или выборочного контроля. При сплошном контроле получают наиболее точную оценку значений р и с. Однако из-за высокой трудоемкости сплошного контроля обычно применяют выборочный контроль.

Для оценки значения доли несоответствующих изделий на стадии предварительного исследования невозмущенного процесса через случайные промежутки времени берут т (т>25) выборок объемом п (обычно объем выборки составляет десятки и сотни изделий). Пусть n_jp_i - число несоответствующих изделий, обнаруженных в i-ой выборке объемом n_i, тогда доля несоответствующих изделий в i-ой выборке

Среднее значение доли несоответствующих изделий

а в случае, когда объем выборок постоянный,

Аналогично на стадии предварительного исследования невозмущенного процесса определяют среднее значение числа несоответствий в выборке

и число несоответствий, приходящихся на одно изделие в і-ой выборке.

,

где т – количество проконтролированных выборок,

п_i – объем і-ой выборки,

с_i – количество несоответствий, обнаруженных в і-ой выборке.

Среднее число несоответствий, приходящихся на одно изделие т контролированных выборках, равно

а в случае, когда объем выборок постоянный

Полученные в ходе предварительного исследования невозмущенного процесса средние значения доли несоответствующих изделий и числа несоответствий используют в качестве стандартных норм для построения бланков контрольных карт, с помощью которых в ближайший период времени и осуществляют контроль за ходом процесса.

На практике при использовании карт Шухарта для альтернативных данных иногда бывает удобно принимать за выборку всю продукцию, изготовленную за определенный интервал времени, например, за час, смену, сутки или неделю. В этом случае объем выборок будет непостоянным, пр- и с- карты оказываются неприменимы, и можно использовать только р- и u-карты.

Если объем выборок изменяется в значительных пределах, то для каждой выборки рассчитывают свои контрольные границы. Если же объем выборок меняется несущественно (объем отдельных выборок изменяется от среднего не более чем на ±25%, что практи­чески всегда имеет место в условиях стабильного производства), то можно ограничиться одним набором контрольных границ, рассчи­танных для среднего значения объема выборок, равного

Для упрощения процедуры анализа и интерпретации контрольных карт всегда следует стремиться к использованию карт с постоянными контрольными границами. В противном случае процесс построения и ведения контрольных карт необходимо автоматизировать на основе использования персональ­ных компьютеров и соответствующих программных продуктов.

Построение и применение контрольных карт зависит от того, заданы или нет стандартные значения для выбо­рочных характеристик, наносимых на контрольную карту.

Если стандартные значения выборочных характеристик зада­ны, то положения ЦЛ, НКГ и ВКГ рассчитываются на основе этих стандартных значений с использованием формул, приведенных в таблицах. Такие контрольные карты служат для oпределения, будут ли наблюдаемые выборочные значения отличать­ся от установленных стандартных значений больше, чем можно ожидать при действии только случайных причин изменчивости.

Следует отметить, что стандартные значения могут быть ус­тановлены на основе опыта использования контрольных карт для слежения за состоянием технологического процесса, эко­номических соображений, указаны в технической либо норма­тивной документации на продукцию или определены на этапе предварительного исследования процесса, находящегося в ста­тистически управляемом состоянии.

На этапе предварительного исследования процесса собирают­ся и анализируются данные о процессе, необходимые для опреде­ления предварительных параметров контрольных карт: положе­ние ЦЛ и контрольных границ. Предварительные данные собирают обычно для 20 или большего числа выборок, отобранных при не­прерывном ходе производственного процесса, не подвергающего­ся особым внешним влияниям: замене исходного материала, ре­гулировке оборудования, смене инструмента, приспособлений или оператора и т.д.

На основе полученных предварительных данных рассчитыва­ются пробные контрольные границы и строится контрольная кар­та. Если некоторые точки на контрольной карте из-за влияния неслучайных причин изменчивости окажутся вне контрольных границ, то проводят анализ процесса, чтобы определить причину такой изменчивости, скорректировать процесс и предотвратить повторные появления исследованных неслучайных причин.

Затем, исключив из предварительных данных все точки, свя­занные с неслучайными причинами, пересчитывают контрольные границы и вновь строят контрольную карту. Если никакие точ­ки на контрольной карте с пересчитанными контрольными гра­ницами не указывают на наличие неслучайных причин, то пере­считанные пробные контрольные границы становятся рабочими для последующего управления процессом и позволяют наиболее эффективным образом обнаруживать будущие проявления неслу­чайных причин изменчивости процесса.

Рассмотренную последовательность действий по определению положения пробных контрольных границ в ряде случаев прихо­дится повторять несколько раз, пока все точки на контрольной карте не будут демонстрировать статистически управляемое со­стояние процесса.

Отметим, что для эффективного использования контрольных карт, основанных на заданных стандартных значениях выбороч­ных характеристик, для управления технологическими процес­сами и поддержания однородности продукции на желаемом уров­не необходимо, чтобы стандартные значения были сопоставимы с присущей процессу собственной изменчивостью.

Если стандартные значения выборочных характеристик, на­носимых на контрольную карту, не заданы, то положения ЦЛ, НКГ и ВКГ рассчитываются на основе измеренных выборочных данных аналогично расчету пробных контрольных границ с использованием формул, приведенных выше. Такие контрольные карты полностью базируются на оценке вы­борочных данных, позволяют определить, имеют ли место откло­нения выборочных характеристик, превышающие ожидаемые и чисто случайные отклонения, и находят применение на стадиях разработки и постановки продукции на производство, изучения возможностей новых технологических процессов или в началь­ной стадии процесса обслуживания.

Заслуживает внимания вопрос о пересчете границ контрольной карты. Если границы рассчитаны правильно, и никаких измене­ний в изменчивости процесса от случайных причин нет, то конт­рольные границы являются статистически обоснованными. Об­наруживаемые на контрольной карте сигналы о неслучайных причинах изменчивости обычно не требуют пересчета контрольных границ. Для долговременного управления процессом с помощью контрольных карт их границы целесообразно пересчитывать воз­можно реже, по мере того, как это диктует процесс.

Как отмечалось ранее, контрольные карты строят в произвольном масштабе на листе бумаги или на экране дисплея компьютера. Вместе с тем при построении и ведении контрольных карт необходимо соблюдать следующие рекомендации:

- -карту следует располагать над S- или R-картой;

- ниже под картами целесообразно поместить блок данных, предусматривающий места для каждого индивидуального результата измерений контролируемого параметра, результатов обработки измеренных параметров (, R, S, пр и т.д.), даты или времени взятия выборки либо другой информации о каждой выборке;

- над картами желательно размещать необходимую служебную информацию: кто, когда и что контролировал;

• для -карты разность между верхним и нижним краями шкалы должна быть по крайней мере вдвое больше разности между наибольшим и наименьшим значением выборочных средних ;

• для R-карты шкала должна иметь значение от нуля до двукратного наибольшего размаха R, наблюдавшегося на этапе предварительного исследования процесса;

• для p-карты шкала должна перекрывать от нуля до 1,5-2-кратного наибольшего значения доли несоответствующих единиц продукции р, отмеченного в исходных данных;

• для того чтобы расстояние между контрольными границами на - и R- или на - и S-картах было примерно одинаковым, что визуально удобно при анализе карт, цену деления шкалы размахов R следует выбирать вдвое большей цены деления шкалы средних, а цена деления шкалы стандартных от­клонений S должна быть такой же, как для шкалы средних .